4.6 Konstruktion linearer Abbildungen

Satz (Konstruktionssatz)

Seien V, W K-Vektorräume, (v_i)_{i  ∈  I} eine Basis von V und (w_i)_{i  ∈  I} eine Familie in W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : V → W mit der Eigenschaft

f (v_i) = w_i für alle i  ∈  I.

Es gibt genau eine lineare Abbildung f : ℝ² → ℝ² mit f (e₁) = w₁ = (1, 1) und f (e₂) = w₂ = (−2, 1). Damit ist durch die beiden Werte insbesondere das Bild f[ K ] des Einheitskreises K = { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² = 1 } festgelegt. Wir werden in Kapitel 8 zeigen, dass f[ K ] für jede Wahl von w₁ und w₂ eine Ellipse ist.

Anders formuliert:

Die Werte einer linearen Abbildung f lassen sich auf einer Basis beliebig vorschreiben, und f ist durch diese Werte eindeutig bestimmt.

Zum Nachweis der Existenz setzen wir

f (v) = ∑_{i  ∈  I} α_i w_i für alle v = ∑_{i  ∈  I} α_i v_i  ∈  V.

Durch die Eindeutigkeit der Darstellung von Vektoren in V bzgl. (v_i)_i ∈ I entsteht so eine wohldefinierte Abbildung f : V → W mit f (v_i) = w_i für alle i  ∈  I. Man überprüft leicht, dass f linear ist. Sind umgekehrt f, g : V → W linear mit

f (v_i) = w_i = g(v_i) für alle i  ∈  I,

so gilt für alle v = ∑_{i  ∈  I} α_i v_i  ∈  V, dass

f (v) = ∑_{i  ∈  I} α_i f (v_i) = ∑_{i  ∈  I} α_i w_i = ∑_{i  ∈  I} α_i g(v_i) = g(v).

Beispiele

(1)	Sei (e₁, e₂, e₃) die kanonische Basis des ℝ³. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : ℝ³ → ℝ⁴ mit f (e₁) = (1, 0, 1, 1), f (e₂) = (1, 0, 1, 1), f (e₃) = (0, 1, 0, 1).

(2)	Seien f, g : ℝ² → ℝ² lineare Abbildungen mit f(1, 1) = g(1, 1), f(1, 2) = g(1, 2). Dann gilt f = g, da (1, 1) und (1, 2) eine Basis des ℝ² bilden.

(3)	Sei f : ℝ² → ℝ² eine lineare Abbildung mit f(1, 0) = (0, 1), f(0, 1) = (−1, 0). Dann ist f die Drehung um π/2 gegen den Uhrzeigersinn.

Eine wichtige Folgerung des Konstruktionssatzes ist:

Fortsetzungssatz für lineare Abbildungen

Seien V, W K-Vektorräume und sei U ein Unterraum von V. Weiter sei f : U → W linear. Dann gibt es eine lineare Abbildung g : V → W mit g|U = f.

Ergänzen wir nämlich eine Basis (v_i)_{i  ∈  J} von U zu einer Basis (v_i)_i ∈ I, I ⊇ J, von V nach dem Basisergänzungssatz (vgl. 3. 7 und 3. 9), so ist, mit einer beliebigen Familie (w_i)_{i  ∈  I − J} in W, die eindeutige lineare Abbildung g : V → W mit

$g (v_{i}) = { \begin{matrix} f (v_{i}) & falls i \in J, \\ w_{i} & falls i \in I - J \end{matrix}$

wie gewünscht. Speziell gilt dies für (w_i)_{i  ∈  I − J} mit w_i = 0 für alle i  ∈  I − J.

Beispiele

(1)

Seien V = W = ℝ³, U = ℝ² × { 0 } und sei f : U → ℝ³ die Drehung in der x-y-Ebene um π/2 gegen den Uhrzeigersinn. Wir betrachten nun die aus e₁ = (1, 0, 0) und e₂ = (0, 1, 0) gebildete Basis von U und ergänzen diese um e₃ = (0, 0, 1) zu einer Basis von ℝ³. Der Vektor w₃ = e₃ liefert als Fortsetzung g : ℝ³ → ℝ³ von f die Drehung um π/2 um die z-Achse im ℝ³ gegen den Uhrzeigersinn. Das Bild von g ist ℝ³. Der Vektor w₃ = 0 liefert dagegen als Fortsetzung g die Projektion im ℝ³ „(x, y, z) nach (x, y, 0)“ auf die x-y-Ebene, gefolgt von der Drehung f um π/2 gegen den Uhrzeigersinn. Das Bild von g ist hier U.

(2)

Seien V = W = ℝ², U = ℝ × { 0 } und f : U → ℝ² die Identität auf U, sodass

f(x, 0) = (x, 0) für alle x  ∈  ℝ.

Wir ergänzen die Basis (e₁) von U zur kanonischen Basis (e₁, e₂) von V. Dann liefert der Vektor w₂ = 0 die Fortsetzung g : ℝ² → ℝ von f mit

g(x, y) = g((x, 0) + (0, y)) = (x, 0) + y g(0, 1) = (x, 0) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Ergänzen wir dagegen (e₁) zur Basis (e₁, (1, 1)) des ℝ², so liefert der Vektor w₂ = 0 die Fortsetzung g von f mit

g(x, y) = g((x − y, 0) + y (1, 1)) = (x − y, 0) + y g(1, 1) = (x − y, 0)

für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Wir halten also fest:

Warnung

Für die Vorgabe „w_i = 0 für alle i  ∈  I − J“ gilt im Allgemeinen nicht, dass g(v) = 0 für alle v  ∈  V − U. Weiter hängt die Fortsetzung g von f auch für diese Vorgabe in der Regel von der Basis (v_i)_i ∈ I ab. Man kann also nicht von der Nullfortsetzung von f sprechen. Eindeutig ist g = „die Nullfortsetzung von f bzgl. der Basis (v_i)_i ∈ I“.