5.1 Matrizen
Definition (Matrix, Einträge, Spalten, Zeilen, Km × n)
Seien K ein Körper und m, n ≥ 1. Eine Familie
A = (ai,j)1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
in K nennen wir die m × n-Matrix über K mit den Einträgen A(i, j) = ai,j ∈ K an den Stellen (i, j). Wir notieren A in Form einer Tabelle mit m Zeilen und n Spalten:
A = .
Die Vektoren (a1,j, …, am,j) ∈ Km und (ai,1, …, ai,n) ∈ Kn heißen die Spalten bzw. Zeilen von A. Gilt n = m, so heißt A quadratisch. Wir schreiben kurz
Km × n anstelle von K{ 1, …, m } × { 1, …, n } = { A | A ist eine m × n-Matrix über K }
für den K-Vektorraum aller m × n-Matrizen mit Einträgen in K.
Eine Matrix ist formal eine Tabelle von Körper-Elementen. So wie man einen Vektor x ∈ ℝ12 als Liste von reellen Zahlen mit zwölf Einträgen auffassen kann, so kann man eine Matrix A ∈ ℝ3 × 4 als Tabelle mit drei Zeilen und vier Spalten auffassen, deren Einträge aus reellen Zahlen bestehen. Die fundamentale Bedeutung dieser Tabellen für die Lineare Algebra ergibt sich durch ihren engen Zusammenhang mit linearen Abbildungen. Bei der Untersuchung linearer Abbildungen sind uns Matrizen schon mehrfach begegnet (vgl. 4. 7, 4. 11, 4. 12). In diesem Kapitel werden wir die Darstellung einer linearen Abbildung durch eine Matrix genauer untersuchen. Weit über die Lineare Algebra hinaus haben Matrizen vielfältige Anwendungen, insbesondere spielen sie in der Analysis, der Graphentheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle. Immer dann, wenn doppelt indizierte Objekte auftreten, kommen Matrizen ins Spiel. Matrizen gehören zu den Grundbegriffen der Mathematik.
Notationen und Konventionen
(1) | Sind m, n aus dem Kontext heraus klar, so schreiben wir kurz A = (ai, j) = (aij). Statt aij schreiben wir alternativ auch A(i, j). Als Familie ist eine Matrix A eine Funktion von { 1, …, m } × { 1, …, n } nach K, sodass A(i, j) wohldefiniert ist. |
(2) | Matrizen werden oft mit großen Buchstaben A, B, C, … bezeichnet und ihre Einträge automatisch entsprechend mit aij, bij, cij, … Im Folgenden läuft der Zeilenindex i von 1 bis m und der Spaltenindex j von 1 bis n. Die Entsprechungen sind wie im Alphabet: m kommt vor n und i vor j. |
(3) | Matrizen werden oft auch mit eckigen statt runden Klammern notiert. |
Der Vektorraum Km × n ist der Produktraum KI für I = { 1, …, m } × { 1, …, n } (vgl. 3. 3). Für alle A = (aij), B = (bij) ∈ Km × n und λ ∈ K gilt
A + B = + = ,
λ A = λ = .
Beispiele
(1) | Die Nullmatrix 0 ∈ Km × n ist definiert durch 0(i, j) = 0 für alle i, j. |
(2) | Die Einheitsmatrix En ∈ Kn × n ist definiert durch En(i, i) = 1 für alle i, En(i, j) = 0 für alle i ≠ j. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas δij gilt En(i, j) = δij für alle i, j. Die Spalten und Zeilen von En sind die Standardvektoren e1, …, en. |
(3) | Ein A ∈ Kn × n heißt Diagonalmatrix, falls A(i, j) = 0 für alle i ≠ j. Wir schreiben diag(a1, …, an) für die Diagonalmatrix A mit A(i, i) = ai für alle i. Speziell gilt En = diag(1, …, 1). Die Diagonalmatrix diag(a1, …, an) ∈ Kn × n. Nichtspezifizierte Einträge sind gleich null. |
(4) | Ein A ∈ Kn × n heißt eine obere Dreiecksmatrix, falls A(i, j) = 0 für alle i > j. Analog ist eine untere Dreiecksmatrix durch „A(i, j) = 0 für alle i < j“ definiert. |
(5) | Wir definieren Eij ∈ Km × n für alle i = 1, …, m und j = 1, …, n als die Matrix, die genau an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 besitzt und sonst nur Nulleinträge aufweist. Es gilt also Eij(i′, j′) = δ(i, j), (i′, j′) für alle i′, j′. Die Matrizen Eij bilden die Standardbasis des mn-dimensionalen Vektorraums Km × n. Für alle A ∈ Km × n gilt A = ∑1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n aij Eij. |
Wichtig für das Folgende ist:
Einbettung des Km in den Km × 1
Sei m ≥ 1. Wir vereinbaren:
(x1, …, xm) ∈ Km wird identifiziert mit ∈ Km × 1.
Damit gilt Km = Km × 1. In den folgenden Abschnitten wird klar werden, warum wir den Vektorraum Km × 1 (einspaltige Matrizen) gegenüber dem auf den ersten Blick vielleicht naheliegenderen Vektorraum K1 × m (einzeilige Matrizen) bevorzugen.