5.3 Die Matrizenmultiplikation

Definition (Matrizenprodukt)

Seien K ein Körper und k, m, n ≥ 1. Wir definieren für alle A = (a_ir)  ∈  K^{m × k} und B = (b_rj)  ∈  K^{k × n} das Matrizenprodukt A B = A · B = (c_i j)  ∈  K^{m × n} durch

c_i j = ∑_{1 ≤ r ≤ k} a_ir b_r j = a_i 1 b_1 j + … + a_i k b_k j für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Die Produktbildung erfolgt gemäß „Zeile mal Spalte“, mn-mal durchgeführt. In den Spalten von A B stehen die Matrix-Vektor-Produkte von A mit den Spalten von B. Insbesondere ist A x für A  ∈  K^{m × n} und x  ∈  Kⁿ = K^{n × 1} der Spezialfall der Matrizenmultiplikation mit einem einspaltigen zweiten Faktor. Das Produkt AB ist nur erklärt, wenn die Zeilenzahl von A mit der Spaltenzahl von B übereinstimmt. Unentbehrlich ist:

Motivation der Matrizenmultiplikation

Sind f : Kⁿ → K^k und g : K^k → K^m lineare Abbildungen, so gilt

A_g ∘ f = A_g · A_f. (Kompositionssatz für darstellende Matrizen)

Die darstellende Matrix der Komposition g ∘ f ist also das Produkt der darstellenden Matrizen von g und f. Sind umgekehrt A  ∈  K^{m × k}, B  ∈  K^{k × n}, so gilt f_A B = f_A ∘ f_B.

Die Multiplikation ist so gemacht, dass

f_A B = f_A ∘ f_B.

Konvention: In Diagrammen schreiben wir oft einfach C statt f_C. Dies ist suggestiv und besser lesbar. Manche Autoren identifizieren generell C und f_C.

Ohne explizites Nachrechnen ergibt sich aus der Assoziativität der Komposition von Funktionen, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.

Beispiele

(1)	Für alle A  ∈  K^{m × n} gilt A E_n = $( \begin{matrix} {Ae}_{1} & … & {Ae}_{n} \end{matrix} )$ = A und analog E_m A = A. Speziell ist A E_n = E_n A = A für alle A  ∈  K^{n × n}.

(2)

Sei K ein Körper. Dann gilt:

$( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ ≠ 0,

$( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ = 0.

(3)

Für A = diag(a₁, …, a_n), B = diag(b₁, …, b_n)  ∈  K^{n × n} gilt

A B = diag(a₁b₁, …, a_nb_n) = B A.

Die Diagonalmatrizen des K^{n × n} sind also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Ebenso ist das Produkt zweier unterer (oberer) Dreiecksmatrizen des K^{n × n} wieder eine untere (obere) Dreiecksmatrix des K^{n × n}.

(4)

Beschreiben A_φ, A_ψ  ∈  ℝ^{2 × 2} die Drehungen um φ bzw. ψ, so beschreibt A_φA_ψ die Drehung um φ + ψ (vgl. 5. 2). Es gilt A_φA_ψ = A_φ + ψ = A_ψ + φ = A_ψA_φ. Aus

A_φ A_ψ = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} cos ψ & - sin ψ \\ sin ψ & cos ψ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} cos (φ + ψ) & - sin (φ + ψ) \\ sin (φ + ψ) & cos (φ + ψ) \end{matrix} )$ = A_φ + ψ

erhalten wir die Additionstheoreme für den Sinus und Kosinus:

cos(φ + ψ) = A_φ + ψ(1, 1) = (A_φ A_ψ) (1, 1) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,

sin(φ + ψ) = A_φ + ψ(2, 1) = (A_φ A_ψ) (2, 1) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ.

Gilt m = n = k, so ist die Matrizenmultiplikation eine Operation auf der Menge K^{n × n} aller quadratischen Matrizen mit je n Zeilen und Spalten. Algebraische Eigenschaften dieser Operation sind:

(1)	Die Menge K^{n × n} bildet mit der Addition und Multiplikation von Matrizen einen Ring. Die Nullmatrix 0 ist additiv neutral und die Einheitsmatrix E_n = diag(1, …, 1) multiplikativ neutral.

(2)	Der K-Vektorraum K^{n × n} bildet mit der Multiplikation von Matrizen eine K-Algebra.

Beispiel (2) zeigt, dass der Matrizenring im Allgemeinen weder kommutativ noch nullteilerfrei ist. In K^{n × n} sind wie in jedem Ring die Potenzen A^k definiert:

A⁰ = E_n, A^k + 1 = A^k A für alle k  ∈  ℕ.