5.5 Invertierbare Matrizen

Definition (Invertierbarkeit, Inverse, allgemeine lineare Gruppe)

Seien K ein Körper und n ≥ 1. Ein A  ∈  K^{n × n} heißt invertierbar, falls es ein B  ∈  K^{n × n} gibt mit A B = B A = E_n. Die Matrix B heißt dann die zu A inverse Matrix und wird mit A⁻¹ bezeichnet. Eine nicht invertierbare Matrix nennt man singulär. Weiter heißt

GL(n, K) = { A  ∈  K^{n × n} | A ist invertierbar }

die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über K.

Die Invertierung entspricht der Umkehrabbildung: (A_f)⁻¹ = A_f ⁻¹.

Die Gruppe GL(n, K) besteht aus den Einheiten des Matrizenrings K^{n × n} („GL“ steht für „general linear“). Nach den Rechenregeln in Gruppen gilt für alle A, B  ∈  GL(n, K):

(A⁻¹)⁻¹ = A, (A B)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.

Jeweils äquivalent zur Invertierbarkeit von A  ∈  K^{n × n} sind die Bedingungen:

f_A : Kⁿ → Kⁿ ist bijektiv (gleichwertig: injektiv, surjektiv).

Die Spalten von A bilden eine Basis des Kⁿ.

Es gibt ein B  ∈  K^{n × n} mit A B = E_n oder B A = E_n.

Die beiden ersten Kriterien folgen aus der Definition. Das nicht selbstverständliche dritte Kriterium ergibt sich daraus, dass f_A ∘ f_B = id impliziert, dass f_A surjektiv und f_B injektiv ist (vgl. hierzu die Diskussion von M^× in 2. 3).

Beispiele

(1)	Eine Diagonalmatrix A = diag(a₁, …, a_n) ist genau dann invertierbar, wenn alle a_i von null verschieden sind. In diesem Fall gilt A⁻¹ = diag(a⁻¹₁, …, a⁻¹_n).

(2)	Die Drehmatrizen A_φ  ∈  ℝ^{2 × 2} sind invertierbar mit A⁻¹_φ = A_{− φ}. Sie bilden eine Untergruppe von GL(2, ℝ).

(3)	Für A  ∈  GL(2, ℝ) gilt A⁻¹ = ¹_{a₁₁a₂₂ − a₂₁a₁₂} $( \begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix} )$ , vorausgesetzt, der Nenner ist ungleich 0. Diese Formel wird durch die Einführung von Determinanten verständlich (vgl. 7. 1).

(4)	Die Summe A + B von A, B  ∈  GL(n, K) ist im Allgemeinen nicht invertierbar, wie A = E_n und B = −E_n zeigen. Mit A ist aber stets auch −A invertierbar.

Wir betrachten zwei Anwendungen invertierbarer Matrizen.

Eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme

Eine Matrix A  ∈  K^{n × n} ist genau dann invertierbar, wenn das Gleichungssystem

A x = b

für alle b  ∈  Kⁿ eine eindeutige Lösung besitzt. Denn genau dann ist f_A : Kⁿ → Kⁿ bijektiv. Ist umgekehrt A⁻¹ bekannt, so gilt

A x = b genau dann, wenn x = A⁻¹ b, (Lösen durch Invertierung)

wie die Multiplikation von links mit A⁻¹ zeigt. Kennt man A⁻¹, so kann man A x = b für jede rechte Seite b durch Berechnung von A⁻¹ b lösen.

Berechnung von Koordinatenvektoren

Seien 𝒜 = (a₁, …, a_n) eine Basis des Kⁿ und Φ_𝒜 : Kⁿ → Kⁿ die zugehörige Koordinatenabbildung. Wir bilden die n × n-Matrix A mit den Basisvektoren als Spalten:

A = $( \begin{matrix} a_{1} & … & a_{n} \end{matrix} )$ .

Für alle x, y  ∈  Kⁿ gilt Φ_𝒜(x) = y genau dann, wenn

x = y₁ a₁ + … + y_n a_n = A y.

Die Matrix A ist also die darstellende Matrix von Φ⁻¹_𝒜 (bzgl. der Standardbasen), da Φ⁻¹_𝒜(y) = A y für alle y. Damit ist A⁻¹ die darstellende Matrix von Φ_𝒜, sodass

(+) Φ_𝒜(x) = A⁻¹ x für alle x  ∈  Kⁿ. (Koordinatenberechnung durch Invertierung)

Alternativ können wir so argumentieren: A ist die darstellende Matrix von id : Kⁿ → Kⁿ bzgl. der Basen 𝒜 und ℬ = (e₁, …, e_n), denn die Spalten von A sind die Koordinatenvektoren von id(a_i) bzgl. ℬ. Das kommutative Diagramm rechts liefert (+).

Es bleiben die Fragen:

Wie berechnet man A⁻¹ für A  ∈  GL(n, K)?

Wie überprüft man, ob A  ∈  K^{n × n} invertierbar ist?

Der Ansatz „AB = E_n“ mit einer unbekannten Matrix B  ∈  K^{n × n} führt zu n linearen Gleichungssystemen

Ax = e₁, …, Ax = e_n,

deren Lösungen die Spalten von B = A⁻¹ bilden. Eine effektive Möglichkeit zur Bestimmung von A⁻¹ werden wir im folgenden Abschnitt kennenlernen.