5.6 Die Elementarmatrizen

Definition (Elementarmatrizen und ihre Typen)

Seien K ein Körper und n ≥ 1. Für alle 1 ≤ i, j ≤ n und λ  ∈  K sei W_ij(λ)  ∈  K^{n × n} die Matrix, die aus E_n durch Überschreiben des (i, j)-Eintrags mit λ hervorgeht. Wir nennen ein W  ∈  K^{n × n} eine Elementarmatrix, falls W von einem der folgenden Typen ist:

Additionstyp		W = W_ij(λ)	mit λ  ∈  K, i ≠ j,
Multiplikationstyp		W = W_ii(λ)	mit λ  ∈  K*.

$( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

W₂₄(λ)  ∈  K^{5 × 5}

$( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

W₄₄(λ)  ∈  K^{5 × 5}

Die Bezeichnung W_ij(λ) steht für „write λ at (i, j) in E_n“. Der Additionstyp enthält einen Eintrag λ außerhalb der mit Einsen gefüllten Diagonale. Diese Matrizen sind obere oder untere Dreiecksmatrizen. Der Multiplikationstyp entsteht aus der Einheitsmatrix E_n durch Ersetzung einer Eins durch einen von Null verschiedenen Skalar. Die Namensgebung wird durch die Wirkung der Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix erklärt:

Matrizenprodukte mit Elementarmatrizen W  ∈  K^{m × m} von links
Typ	WA entsteht aus A  ∈  K^{m × n} durch …
W = W_ij(λ), i ≠ j	Addition des λ-Fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile
W = W_ii(λ)	Multiplikation der i-ten Zeile mit λ

Analoge Aussagen mit „Spalte“ statt „Zeile“ gelten für Produkte mit Elementarmatrizen W  ∈  K^{n × n} von rechts. Zu beachten ist lediglich, dass in AW für W = W_ij(λ) das λ-Fache der i-ten Spalte zur j-ten Spalte von A  ∈  K^{m × n} addiert wird.

Die Elementarmatrizen sind invertierbar und ihre Inversen sind Elementarmatrizen. Es gilt:

Typ	inverse Matrix
W_ij(λ), i ≠ j	W_ij(−λ)
W_ii(λ), λ ≠ 0	W_ii(1/λ)

Die Elementarmatrizen eignen sich zur Manipulation und Vereinfachung von allgemeinen Matrizen. Ein Paradebeispiel ist die Invertierung einer Matrix A  ∈  GL(n, K). Wir können Elementarmatrizen L₁, …, L_k  ∈  GL(n, K) finden, die durch Linksmultiplikation A schrittweise ausräumen, sodass

L_k … L₁ A = E_n.

Dann ist L_k … L₁ = A⁻¹. Wegen L_k … L₁ = L_k … L₁ E_n können wir also A⁻¹ bestimmen, indem wir simultan zur Umformung von A die Matrix E_n in analoger Weise behandeln: Aus A wird E_n und aus E_n wird A⁻¹. Wir führen das Verfahren an einem Beispiel vor (genauer und allgemeiner wird das „Ausräumen“ in 5. 12 behandelt).

Beispiel: Invertierung einer Matrix

A₀ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = E₃

A₁ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

A₂ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix} )$

A₃ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₄ = $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₅ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₆ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} )$

A₇ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{matrix} )$ = A⁻¹

Es gilt

A₀ = A, A₁ = L₁A₀, A₂ = L₂ A₁, …, A₇ = E₃ = L₇ … L₁ A₀ = A⁻¹A

mit Additionstypen L₁, …, L₅ und Multiplikationstypen L₆, L₇. Das Verfahren lässt sich auf jedes A  ∈  K^{n × n} anwenden, um zu testen, ob A invertierbar ist: Wird eine Nullzeile oder Nullspalte erreicht, so ist A singulär (denn Matrizen mit Nullzeilen oder Nullspalten sind singulär, und ist A invertierbar, so auch alle A_i).

Analog kann man A⁻¹ = R₁ … R_k durch Spaltenoperationen von rechts gewinnen.

Wir fassen unsere Überlegungen noch einmal in dem folgenden überraschenden Ergebnis zusammen:

Satz (Erzeugung von GL(n, K) durch Elementarmatrizen)

Jede invertierbare Matrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen.