5.8 Basiswechsel und Transformationsformel

Definition (Transformationsmatrix eines Basiswechsels)

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und seien 𝒜 = (v₁, …, v_n) und ℬ = (w₁, …, w_n) Basen von V. Dann heißt die darstellende Matrix T  ∈  K^{n × n} der Identität id : V → V bzgl. 𝒜 und ℬ die Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix des Basiswechsels von 𝒜 nach ℬ.

In den Spalten einer f : V → W darstellenden Matrix stehen die Koordinatenvektoren bzgl. ℬ der Bilder der Basisvektoren in 𝒜 unter f. Bei einem Basiswechsel ist f die Identität. Damit gilt für die Transformationsmatrix T:

In den Spalten von T stehen die neuen Koordinaten von v₁, …, v_n.

Für die T zugeordnete lineare Abbildung f_T : Kⁿ → Kⁿ gilt

f_T = Φ_ℬ ∘ id ∘ Φ⁻¹_𝒜 = Φ_ℬ ∘ Φ⁻¹_𝒜.

Damit ist Tx = Φ_ℬ(Φ⁻¹_𝒜(x)) für alle x  ∈  Kⁿ. Weiter lesen wir aus dem Diagramm ab:

T⁻¹ ist die Transformationsmatrix des Basiswechsels von ℬ nach 𝒜.

Ein wichtiger Spezialfall ist:

Basiswechsel für V = Kⁿ

Schreiben wir die Basisvektoren als Spalten in zwei Matrizen A, B  ∈  GL(n, K),

A = $( \begin{matrix} v_{1} & … & v_{n} \end{matrix} )$ , B = $( \begin{matrix} w_{1} & … & w_{n} \end{matrix} )$ ,

so sind A⁻¹ und B⁻¹ die darstellenden Matrizen der Koordinatenabbildungen, d. h., für alle x  ∈  Kⁿ gilt

Φ_𝒜(x) = A⁻¹ x, Φ_ℬ(x) = B⁻¹ x.

Folglich ist

T = B⁻¹A.

Ist eine der beteiligten Basen die Standardbasis des Kⁿ, so gilt:

Für …	gilt …	In den Spalten von T stehen …
𝒜 = (e₁, …, e_n)	T = B⁻¹	die neuen Koordinaten der Standardvektoren
ℬ = (e₁, …, e_n)	T = A	die alten Basisvektoren

Beispiele

(1)	Die Drehmatrix A_φ  ∈  ℝ^{2 × 2} ist die Transformationsmatrix für jeden Basiswechsel des ℝ², für den die neue Basis ℬ aus den um den Winkel φ gedrehten Vektoren der alten Basis 𝒜 besteht.

(2)	Ist 𝒜 = (e₁, …, e_n) und ℬ = (e_π(1), …, e_π(n)) für eine Permutation π  ∈  S_n, so ist P_π die Transformationsmatrix des Basiswechsels von 𝒜 nach ℬ. Diesen Wechsel kann man sich als Umnummerierung der Koordinatenachsen vorstellen.

Als Nächstes untersuchen wir, wie sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung beim Wechsel der Basen verändert.

Die Transformationsformel

Seien V, W K-Vektorräume, n = dim(V), m = dim(W), 𝒜, 𝒜′ Basen von V und ℬ, ℬ′ Basen von W. Weiter sei f : V → W eine lineare Abbildung. Wir setzen

A =	A_f bzgl. 𝒜, ℬ,
A′ =	A_f bzgl. 𝒜′, ℬ′,
T =	„die Transformationsmatrix von 𝒜 nach 𝒜′ “,
S =	„die Transformationsmatrix von ℬ nach ℬ′ “.

Das Diagramm zeigt:

A′ = S A T⁻¹. (Transformationsformel)

Eine wichtige Anwendung der Formel ist:

Charakterisierung der Äquivalenz

Zwei Matrizen A, A′  ∈  K^{m × n} sind genau dann äquivalent, wenn es S  ∈  GL(m, K) und T  ∈  GL(n, K) gibt mit A′ = SAT⁻¹. Denn genau in diesem Fall stellen A und A′ die gleiche lineare Abbildung für geeignete Basen dar.

Der Spezialfall V = W, 𝒜 = ℬ und 𝒜′ = ℬ′ motiviert:

Definition (ähnliche Matrizen)

Zwei Matrizen A, A′  ∈  K^{n × n} heißen ähnlich, falls es ein S  ∈  GL(n, K) gibt mit A′ = S A S⁻¹.

Nach der Transformationsformel sind A, A′ genau dann ähnlich, wenn es eine lineare Abbildung f : V → V und Basen 𝒜, 𝒜′ von V gibt mit A = A_f bzgl. 𝒜, 𝒜 und A′ = A_f bzgl. 𝒜′, 𝒜′. Wir werden in 5.12 sehen, wie man S und T⁻¹ für ein gegebenes A so berechnen kann, dass B = SAT⁻¹ in Normalform ist. Mit dem Problem, ein S zu finden, für welches SAS⁻¹ möglichst einfach ist, befassen wir uns im achten Kapitel.