5.9 Die Transposition
Definition (transponierte Matrix, Transposition, symmetrische Matrix)
Seien K ein Körper, m, n ≥ 1 und A ∈ Km × n. Dann ist die zu A transponierte Matrix At ∈ Kn × m definiert durch At(i, j) = A(j, i) für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Ist m = n und At = A, so heißt A symmetrisch.
A =
At =
Die Transposition vertauscht Zeilen und Spalten. Ist A quadratisch, so geht At durch Spiegelung an der Diagonale aus A hervor. Die Transposition, die A ∈ Km × n auf At ∈ Kn × m abbildet, ist ein Vektorraum-Isomorphismus. Es gilt
(At)t = A, (λA)t = λ At,
(A + B)t = At + Bt, (AB)t = Bt At.
Für A ∈ GL(n, K) gilt zudem
(At)−1 = (A−1)t.
Beispiele
(1) | Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch. Obere (untere) Dreiecksmatrizen werden durch Transposition zu unteren (oberen) Dreiecksmatrizen. |
(2) | Die symmetrischen n × n-Matrizen bilden einen Unterraum des Kn × n. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen kann unsymmetrisch sein. = |
Wir betrachten zwei nützliche Produktbildungen, die sich mit Hilfe der Transposition elegant einführen und handhaben lassen.
Das Produkt xt y
Seien K ein Körper und n ≥ 1. Dann gilt für alle x, y ∈ Kn
xt y = = = x1y1 + … + xnyn ∈ K.
Dabei verwenden wir unsere Konvention, ein x = (x1, …, xn) ∈ Kn als einspaltige Matrix zu lesen. Diese Matrix wird durch die Transposition zu einer einzeiligen Matrix. Als Merkregel gilt, dass das „t“ bei (x1, …, xn)t einfach die Kommata löscht. Insgesamt definiert xt y eine Abbildung von Kn × Kn nach K.
Das Produkt x yt
Seien K ein Körper und m, n ≥ 1. Dann gilt für alle x ∈ Km und y ∈ Kn
x yt = = = (xiyj)ij ∈ Km × n.
Die Spalten von x yt sind skalare Vielfache von x, die Zeilen skalare Vielfache von y. Das Produkt x yt definiert eine Abbildung von Km × Kn nach Km × n.
Beispiele
(1) | Für die kanonischen Basisvektoren e1, …, en des Kn gilt eit ej = δij ∈ { 0, 1 }, ei ejt = δij En ∈ Kn × n. |
(2) | Das Produkt C = AB für A ∈ Km × k, B ∈ Kk × n können wir definieren durch cij = ait bj mit der i-ten Zeile ai von A und der j-ten Spalte bj von B. |
(3) | Wir wissen schon, dass A ej die j-Spalte von A ∈ Km × n ist. Nun ergänzen wir: eitA = „die i-te Zeile von A“ für alle 1 ≤ i ≤ m. Weiter gilt eitA ej = aij für alle i, j. |
Zwischen fA : Kn → Km und fAt : Km → Kn besteht keine offensichtliche Beziehung. Ist m = n und A symmetrisch, so ist fA = fAt. Für Permutationsmatrizen gilt Pπt = P−1π, im Allgemeinen hat At aber nichts mit einer Umkehrabbildung zu tun. Den Schlüssel zum Verständnis liefern erst die Dualräume (vgl. 4. 12):
Satz (Dualitätssatz für At)
Seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume und 𝒜 = (v1, …, vn), ℬ = (w1, …, wm) Basen von V, W. Weiter seien f : V → W linear und A die f bzgl. 𝒜, ℬ darstellende Matrix. Dann gilt:
At ist die darstellende Matrix der dualen Abbildung f* : W* → V* bzgl. ℬ*, 𝒜*.
Denn für alle 1 ≤ i ≤ m gilt
f*(wi*) = w*i ∘ f = ai1 v*1 + … + ain v*n.
Damit sind die Zeilen von A die Koordinatenvektoren der Bilder von w*1, …, w*m unter f*. Diese Vektoren sind die Spalten der f* bzgl. ℬ*, 𝒜* darstellenden Matrix B, sodass B = At.