6.6 Orthonormalbasen

Definition (Orthogonalbasis, Orthonormalbasis)

Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Eine Basis (v_i)_{i  ∈  I} von V heißt eine Orthogonalbasis, falls 〈 v_i, v_j 〉 = 0 für alle i, j  ∈  I mit i ≠ j. Gilt zusätzlich ∥ v_i ∥ = 1 für alle i, so heißt (v_i)_{i  ∈  I} eine Orthonormalbasis.

Eine Orthonormalbasis ist also eine Basis aus normierten Vektoren, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Kompakt kann man dies durch

〈 v_i, v_j 〉 = δ_ij für alle i, j  ∈  I (Orthonormalitätsbedingung)

zum Ausdruck bringen. Da die Orthogonalität die lineare Unabhängigkeit nach sich zieht, ist eine orthogonale Familie (v_i)_{i  ∈  I} in V − { 0 } bereits dann eine Orthogonalbasis, wenn sie erzeugend ist. Weiter ist dann (N(v_i))_{i  ∈  I} eine Orthonormalbasis. Jede Orthogonalbasis lässt sich also durch Normierung in eine Orthonormalbasis überführen. Mit der Konstruktion von Orthogonalbasen werden wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen. Zunächst wollen wir wichtige Eigenschaften festhalten und Beispiele kennenlernen.

Ist (v₁, …, v_n) eine Orthonormalbasis von V, so gilt für alle v  ∈  V:

v = 〈 v₁, v 〉 v₁ + … + 〈 v_n, v 〉 v_n, (Koordinatenbestimmung)

∥ v ∥² = |〈 v₁, v 〉|² + … + |〈 v_n, v 〉|². (Parseval-Gleichung)

Ist Φ : V → Kⁿ die Koordinatenabbildung bzgl. (v₁, …, v_n), so gilt

〈 v, w 〉 = 〈 Φ(v), Φ(w) 〉_kanonisch für alle v, w  ∈  V.

In diesem Sinn ist V isomorph zum Kⁿ mit dem kanonischen Skalarprodukt.

Ist (v_i)_{i  ∈  I} eine Orthonormalbasis von V, so ist für alle v  ∈  V die Menge aller Indizes i mit 〈 v_i, v 〉 ≠ 0 endlich, und es gilt:

v = ∑_{i  ∈  I} 〈 v_i, v 〉 v_i, (Koordinatenbestimmung)

∥ v ∥² = ∑_{i  ∈  I} |〈 v_i, v 〉|². (Parseval-Gleichung)

Die Aussagen ergeben sich für K = ℂ und v = ∑_i α_i v_i, w = ∑_i β_i v_i aus

〈 v_i, v 〉 = 〈 v_i, ∑_j α_j v_j 〉 = ∑_j α_j 〈 v_i, v_j 〉 = ∑_j α_j δ_ij = α_i für alle i  ∈  I,

〈 v, v 〉 = 〈 ∑_i α_iv_i, v 〉 = ∑_i α_i 〈 v_i, v 〉 = ∑_i |α_i|² = ∑_i |〈 v_i, v 〉|²,

〈 v, w 〉 = ∑_i α_i 〈 v_i, w 〉 = ∑_i α_i β_i = 〈 Φ(v), Φ(w) 〉_kanonisch für endliche I.

Für jedes i pickt 〈 v_i, · 〉 : V → K die i-Koordinate von v bzgl. (v_i)_{i  ∈  I} heraus. Es gilt also 〈 v_i, · 〉 = v_i* mit den linear unabhängigen dualen Vektoren v_i*  ∈  V* (vgl. 3. 12).

Beispiele

(1)	Die Standardbasis (e₁, …, e_n) des ℂⁿ ist eine Orthonormalbasis bzgl. des kanonischen Skalarprodukts. Die Parseval-Gleichung schreibt sich als ∥ z ∥² = \|〈 e₁, z 〉\|² + … + \|〈 e_n, z 〉\|² = \|z₁\|² + … + \|z_n\|² für alle z  ∈  ℂⁿ.

(2)	Ist (v₁, v₂) eine Orthonormalbasis des ℝ² bzgl. des kanonischen Skalarprodukts, so gibt es ein α  ∈  [ 0, 2π [ mit v₁ = (cosα, sinα) (Polarkoordinaten). Dann gilt v₂ = (−sinα, cosα) oder v₂ = (sinα, −cosα).

(3)	Die Orthonormalbasen des ℝ³ bzgl. des kanonischen Skalarprodukts lassen sich als normierte rechtwinklige Dreibeine mit Spitze am Nullpunkt beschreiben.

(4)

Sei n  ∈  ℕ. Wir betrachten den (2n + 1)-dimensionalen unitären Vektorraum der trigonometrischen Polynome von Grad kleinergleich n:

V = { f : ℝ → ℂ | es gibt a_{− n}, …, a_n  ∈  ℂ mit f (x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} a_k e^ikx für alle x },

〈 f, g 〉 = ¹_2π ∫^2π₀f (x) g(x) dx für alle f, g  ∈  V.

Die (als Terme notierten) Funktionen e^ikx, −n ≤ k ≤ n bilden eine Orthonormalbasis von V. Für alle f  ∈  V gilt

a_k = ¹_2π ∫^2π₀e^−ikx f (x) dx für alle −n ≤ k ≤ n, (Koeffizientenberechnung)

¹_2π ∫^2π₀|f (x)|² dx = ∑_{−n ≤ k ≤ n} |a_k|². (Parseval-Gleichung)

(5)

Im ℝ-Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen

V = { f : ℝ → ℝ | es gibt a₀, …, a_n  ∈  ℝ mit f (x) = ∑_k ≤ n a_k x^k für alle x } mit

〈 f, g 〉 = ∫¹₋₁ f (x) g(x) dx

definieren wir die Legendre-Polynome P_n rekursiv durch

P₀(x) = 1, P₁(x) = x,

(n + 1) P_n + 1(x) = (2n + 1) x P_n(x) − n P_n − 1(x).

Man kann zeigen, dass 〈 P_n, P_m 〉 = 2/(2n + 1)δ_nm, sodass die P_n eine Orthogonalbasis von V bilden. Sie sind in der Physik bedeutsam. Eine mathematische Motivation werden wir in 6. 7 kennenlernen.