6.8 Orthogonale Komplemente und Projektionen

Definition (orthogonales Komplement, orthogonale Projektion)

Orthogonale Komplemente in ℝ³

Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.

Orthogonale Unterräume und orthogonale Summe

Zwei Unterräume U und W von V heißen orthogonal, falls 〈 u, w 〉 = 0 für alle u  ∈  U und w  ∈  W.

V heißt orthogonale Summe einer Familie von Unterräumen (U_i)_{i  ∈  I}, falls V = ∑_{i  ∈  I} U_i und die U_i paarweise orthogonal sind.

Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion

Ist U ein Unterraum von V, so heißt

U^⊥ = { v  ∈  V | 〈 v, u 〉 = 0 für alle u  ∈  U }

das orthogonale Komplement von U in V. Die Abbildung P_U : U + U^⊥ → U mit

P_U(v) = „das eindeutige u  ∈  U mit v − u  ∈  U^⊥“ für alle v  ∈  U + U^⊥

heißt die orthogonale Projektion von U + U^⊥ auf U.

Mit Hilfe orthogonaler Unterräume lässt sich ein euklidischer oder unitärer Vektorraum übersichtlich organisieren. Sind U und W orthogonal, so ist U ∩ W = { 0 }. Denn für alle Vektoren u  ∈  U ∩ W gilt 0 = 〈 u, u 〉 und damit u = 0. Weiter gilt:

Orthogonale Summen sind direkt

Ist V = ∑_{i  ∈  I} U_i eine orthogonale Summe und sind u_i  ∈  U_i mit ∑_{i  ∈  I} u_i = 0, so gilt

0 = 〈 ∑_{i  ∈  I} u_i, ∑_{i  ∈  I} u_i 〉 = ∑_{i, j  ∈  I} 〈 u_i, u_j 〉 = ∑_{i  ∈  I} 〈 u_i, u_i 〉 = ∑_{i  ∈  I} ∥ u_i ∥²,

sodass u_i = 0 für alle i  ∈  I. Damit ist V = ⊕_{i  ∈  I} U_i (vgl. 3. 10).

Insbesondere ist die orthogonale Summe U + U^⊥ direkt, sodass die orthogonale Projektion P_U : U + U^⊥ → U wohldefiniert ist. Wichtig ist:

Ist U endlich-dimensional, so ist U + U^⊥ = V.

Zum Beweis seien (u₁, …, u_k) eine Orthonormalbasis von U, v  ∈  V beliebig und

v* = v − u mit u = ∑_{1 ≤ i ≤ k} 〈 u_i, v 〉 u_i  ∈  U.

Der Vektor v* steht senkrecht auf allen u_i, sodass v = u + v*  ∈  U + U^⊥.

Ist V endlich-dimensional, so gilt also dim(U) + dim(U^⊥) = dim(V). Weiter ist dann (U^⊥)^⊥ = U. Allgemein gilt nur U ⊆ (U^⊥)^⊥, vgl. das folgende Beispiel (2).

Die orthogonale Projektion P_U : U + U^⊥ → U ist linear und surjektiv. Weiter gilt P_U|U = id_U und P_U ∘ P_U = P_U (Idempotenz). Wichtig sind darüber hinaus:

Ist (u_i)_{i  ∈  I} eine Orthonormalbasis von U, so gilt für alle v  ∈  U + U^⊥:

P_U(v) = ∑_{i  ∈  I} 〈 u_i, v 〉 u_i. (Berechnungsformel)

Für alle v  ∈  U + U^⊥ gilt ∥ v − P_U(v) ∥ = min_{u  ∈  U} ∥ v − u ∥. (Bestapproximation)

Die Rekursionsformel des Gram-Schmidt-Verfahrens können wir nun schreiben als

u_k + 1 = N(v_k + 1 − P_{U_k}(v_k + 1)), mit

U_k = span(v₁, …, v_k) = span(u₁, …, u_k).

In Kurzform lautet das Verfahren also:

Projiziere und normalisiere die Differenz.

Beispiele

(1)

Im ℂ-Vektorraum V aller stetigen Funktionen von [ 0, 2π ] nach ℂ mit

〈 f, g 〉 = ¹_2π ∫^2π₀f (x) g(x) dx für alle f, g  ∈  V

erzeugen die orthonormalen Vektoren e^ikx, − n ≤ k ≤ n für alle n ≥ 1 einen Unterraum U_n. Für alle f  ∈  V ist P_{U_n}(f) die n-te Fourier-Approximation an f:

P_U(f) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} 〈 e^ikx, f 〉 e^ikx = ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^ikx, mit

c_k = ¹_2π ∫^2π₀f (x) e^{− ikx} dx für alle −n ≤ k ≤ n.

(2)

Im euklidischen Vektorraum V = ℝ^(ℕ) aller reellen Folgen mit endlichem Träger sei

U = { a₁ e₁ + … + a_n e_n | n ≥ 1, a₁ + … + a_n = 0 }

der Unterraum aller Folgen, deren Folgenglieder sich zu 0 aufsummieren. Ist nun v  ∈  U^⊥, so gilt wegen e_i − e_j  ∈  U für i ≠ j, dass

v(i) − v(j) = 〈 v, e_i − e_j 〉 = 0 für alle i ≠ j.

Also ist v konstant damit gleich 0. Folglich ist U^⊥ = { 0 } und (U^⊥)^⊥ = V ≠ U.

Da U und V eine abzählbar unendliche Dimension besitzen, existieren Orthonormalbasen der beiden Räume. Eine Orthonormalbasis von U lässt sich aber wegen U^⊥ = { 0 } nicht zu einer Orthonormalbasis von V fortsetzen. Das orthogonale Analogon des Basisergänzungssatzes ist also nicht mehr gültig.