7.12 Die Determinante eines Endomorphismus

Definition (Determinante eines Endomorphismus)

Seien V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 1, f : V → V linear und A  ∈  K^{n × n} die darstellende Matrix von f bzgl. einer beliebigen Basis 𝒜 von V. Dann heißt det(f) = det(A) die Determinante von f.

det(f) misst die durch f bewirkte Veränderung eines orientierten Volumens.

Die Determinante det(f) eines Endomorphismus hängt nicht von der Wahl der Basis ab, da ähnliche Matrizen dieselbe Determinante besitzen: Sind 𝒜, 𝒜′ Basen von V und A und A′ die darstellenden Matrizen von f bzgl. dieser Basen, so gibt es nach der Transformationsformel eine Matrix S  ∈  GL(n, K) mit

A′ = S A S⁻¹.

Nach dem Multiplikationssatz ist det A′ = det S det A det S⁻¹ = det A.

Allgemeine Eigenschaften sind:

det(f ∘ g) = det(f) det(g)

Verknüpfung

det(f) ≠ 0 genau dann, wenn f ist ein Automorphismus

In diesem Fall ist det(f ⁻¹) = det(f)⁻¹.

Umkehrung

Ist V euklidisch oder unitär, so können wir f* : V → V bilden (vgl. 6. 11). Ist 𝒜 eine Orthonormalbasis 𝒜 von V, so ist A^t (für K = ℝ) bzw. A* (für K = ℂ) die darstellende Matrix von f* bzgl. 𝒜. Damit gilt:

det(f*) = det(f)

für V euklidisch

det(f*) = det(f)

Ist f selbstadjungiert, so ist det(f) = det(f*)  ∈  ℝ.

für V unitär

Beispiele

(1)	Die Identität id_V : V → V hat bzgl. jeder Basis die darstellende Matrix E_n. Es gilt det(id_V) = 1.

(2)	Seien K ein Körper, V = Kⁿ und f : V → V, f(x₁, …, x_n) = f (x₂, x₁, …, ) für alle (x₁, …, x_n)  ∈  V. die Vertauschung der beiden ersten Komponenten. Die f bzgl. (e₁, …, e_n) darstellende Matrix A hat die Spalten e₂, e₁, e₃, …, e_n. Damit ist det(f) = det(A) = −1.

(3)

Sei V der ℝ-Vektorraum der reellen Polynomfunktionen vom Grad kleinergleich n − 1 und sei D : V → V der Ableitungsendomorphismus,

D(f) = f ′ für alle f  ∈  V.

Bzgl. der Basis (1, x, …, x^n − 1) ist die obere Dreiecksmatrix

A = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \\ … & … \\ 0 & n - 1 \\ 0 \end{matrix} )$

die darstellende Matrix von f (die Spalten sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren). Damit ist det(f) = 0.

(4)

Seien K ein Körper, V = K^{2 × 2} und f : K^{2 × 2} → K^{2 × 2} die Transposition,

f (A) = A^t für alle A  ∈  K^{2 × 2}.

Dann bilden die Matrizen

E₁ = $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , E₂ = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , E₃ = $( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )$ , E₄ = $( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$

eine Basis von V. Die darstellende Matrix von f bzgl. dieser Basis ist

A = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ .

Damit ist det(f) = det(A) = −det(E₄) = −1.