7.2 n × n-Determinanten

Definition (Determinantenfunktion, Determinante einer n × n-Matrix)

Seien K ein Körper und n ≥ 1. Dann heißt eine Abbildung det : K^{n × n} → K eine Determinantenfunktion auf K^{n × n}, falls gilt:

Multilinearität in den Spalten

Für alle 1 ≤ k ≤ n und alle a₁, …, a_k, a_k + 1, …, a_n  ∈  Kⁿ ist die Abbildung

det $( \begin{matrix} a_{1}; & …; & a_{k - 1}; & ∙; & a_{k + 1}; & …; & a_{n} \end{matrix} )$ : Kⁿ → K

linear.

Alternation

Für A  ∈  K^{n × n} mit zwei gleichen Spalten gilt det A = 0.

Normiertheit

Es gilt det E_n = 1.

Aus den Determinantenaxiomen

„multilinear, alternierend, normiert“

lassen sich herleiten:

det(diag(d₁, …, d_n)) = d₁ · … · d_n. (Diagonalprodukt I)

Ist W_ij(λ), i ≠ j, ein Additionstyp (vgl. 5. 6), so gilt

det(AW_ij(λ)) = det(A). (Spaltenaddition)

Ist P_ij eine Transpositionsmatrix (vgl. 5. 7), so gilt

det(A P_ij) = −det(A). (Spaltentausch)

det(A) ≠ 0 genau dann, wenn A  ∈  GL(n, K). (Invertierbarkeit)

Die Determinante einer oberen bzw. unteren Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonaleinträge. (Diagonalprodukt II)

det(λ A) = λⁿ det A, det(− A) = (−1)ⁿ det(A). (Skalierung)

Wie im Fall n = 2 bleibt eine Determinante also bei der Addition des λ-fachen einer Spalte zu einer anderen gleich, während sie beim Tausch zweier Spalten ihr Vorzeichen ändert. Wir werden später sehen, dass diese Eigenschaften auch für die Zeilen gelten.

Die Regeln für Diagonalmatrizen, für Spaltenadditionen und für Spaltenvertauschungen lassen sich wie im Fall n = 2 einsehen. Damit können wir zeigen:

Invertierbarkeit = Nichtverschwinden der Determinante

Ist A nicht invertierbar, so ist eine Spalte a_k von A eine Linearkombination der anderen. Aufgrund der Multilinearität und der Alternation der Determinante gilt dann

(+) det A = det $( \begin{matrix} a_{1}; & … & a_{k - 1}; & \sum _{i \neq k} α_{i} a_{i}; & a_{k + 1}; & … & a_{n} \end{matrix} )$ = 0.

Ist A invertierbar, so lässt sich A mit Hilfe von Spaltenadditionen W_ij(λ), i ≠ j, in eine Diagonalmatrix B mit Diagonaleinträgen b_ii ≠ 0 überführen. Die Determinante bleibt dabei gleich. Damit gilt

(++) det A = det B = b₁₁ · … · b_nn ≠ 0.

Die Argumentation liefert mehr:

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Für alle n ≥ 1 existiert genau eine Determinantenfunktion auf dem K^{n × n}.

Denn auf den singulären Matrizen sind Determinantenfunktionen det und det′ gleich 0. Und für eine invertierbare Matrix A gilt det A = b₁₁ · … · b_nn = det′ A, da wir zur Herleitung von (++) nur die Determinantenaxiome eingesetzt haben. Umgekehrt können wir (+) und (++) zur Definition von det(A) verwenden und dann die Determinantenaxiome beweisen (wobei die Multilinearität etwas Arbeit erfordert). Andere Beweise der Existenz und Eindeutigkeit werden wir später kennenlernen.

Berechnung von Determinanten durch Überführung in Dreiecksmatrizen

Eine Matrix A können wir durch Spaltenadditionen in eine Dreiecksmatrix B überführen, ohne die Determinante zu verändern. Dann ist det(A) = b₁₁ … b_nn. Zum Beweis dieser zweiten Diagonalprodukt-Regel beobachten wir:

Ist A singulär, so hat B eine Null auf der Diagonale, sodass det A = 0 = b₁₁ … b_nn. Andernfalls können wir B durch weitere Spaltenadditionen in eine Diagonalmatrix C verwandeln, ohne die Diagonaleinträge b_ii oder die Determinante zu verändern. Dann gilt det A = det B = det C = c₁₁ · … · c_nn = b₁₁ · … · b_nn.

Beispiel

Ausräumen oberhalb der Diagonale mit Hilfe von Spaltenadditionen zeigt:

det $( \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 4 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \\ 3 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 4 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & - 2 \end{matrix} )$ = 6.