7.4 Die Leibniz-Formel

Satz (Formel von Leibniz)

Seien K ein Körper und n ≥ 1. Dann definiert

det A = ∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) a_{σ(1), 1} … a_{σ(n), n} für alle A  ∈  K^{n × n} (Leibniz-Formel)

die eindeutige Determinantenfunktion auf dem K^{n × n}.

Die Leibniz-Determinante einer (5 × 5)-Matrix hat 5! = 120 Summanden. Der im Diagramm dargestellte Summand a₂₁ a₅₂ a₄₃ a₁₄ a₃₅ gehört zur Permutation σ = (2, 5, 4, 1, 3) mit sgn(σ) = 1.

Die Leibniz-Formel erfordert eine Summation über alle Elemente der symmetrischen Gruppe S_n. Da die Mächtigkeit von S_n gleich n! ist und mit n sehr schnell wächst, ist die Leibniz-Formel keine praktikable Rechenformel. Dagegen ist sie ein wertvolles Element der Theorie.

Motivation der Formel

Wir nehmen an, dass det′ : K^{n × n} → K eine Determinantenfunktion ist, und zeigen, dass die Leibniz-Formel für det′ gelten muss. Eine Verifikation der Determinantenaxiome zeigt, dass durch die Formel tatsächlich eine Determinantenfunktion definiert wird. Dies liefert einen zweiten Beweis der Existenz und Eindeutigkeit.

Sei also A  ∈  K^{n × n}. Mit den kanonischen Basisvektoren e₁, …, e_n gilt

det′ A =	det′ $( \begin{matrix} \sum _{i} a_{i 1} e_{i}; & …; & \sum _{i} a_{in} e_{i} \end{matrix} )$ =_(a)
	∑_{1 ≤ i₁, …, i_n ≤ n} a_{i₁, 1} … a_{i_n, n} det′ $( \begin{matrix} e_{i_{1}}; & …; & e_{i_{n}} \end{matrix} )$ =_(b)
	∑_{σ  ∈  S_n} a_{σ(1), 1} … a_{σ(n), n} det′ $( \begin{matrix} e_{σ (1)}; & …; & e_{σ (n)} \end{matrix} )$ =_(c)
	∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) a_{σ(1), 1} … a_{σ(n), n} det′ E_n =_(d)
	∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) a_{σ(1), 1} … a_{σ(n), n}.

Dabei verwenden wir:

(a)	n-mal die Multilinearität zur Darstellung als Summe der Länge nⁿ,

(b)	die Alternation zur Reduktion der Summe auf n! = \|S_n\| Permutationen,

(c)	für jedes σ  ∈  S_n k(σ) Spaltenvertauschungen, die die vorliegende Matrix in E_n überführen und durch den Faktor sgn(σ) = (−1)^k(σ) korrigiert werden,

(d)	die Normierung.

Wir bestimmen einige uns schon bekannte und einige neue Determinanten mit Hilfe der Leibniz-Formel.

Beispiele

(1)	Ist A = diag(d₁, …, d_n) eine Diagonalmatrix und σ  ∈  S_n nicht die Identität, so gibt es ein i mit σ(i) ≠ i und daher a_{σ(i), i} = 0. Damit trägt lediglich die Identität etwas zur Leibniz-Summe bei, sodass det A = sgn(id) a₁₁ … a_nn = d₁ … d_n.

(2)	Allgemeiner als Beispiel (1) zeigt die Leibniz-Formel, dass die Determinante einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix das Produkt ihrer Diagonaleinträge ist.

(3)

Ist σ  ∈  S_n und ist

A = diag(d₁, …, d_n) P_σ = $( \begin{matrix} d_{1} e_{σ (1)}; & …; & d_{n} e_{σ (n)} \end{matrix} )$

eine umgeordnete Diagonalmatrix, so trägt lediglich die Permutation σ etwas zur Leibniz-Summe bei. Damit ist

det A = sgn(σ) d₁ … d_n.

Speziell ist det(P_σ) = sgn(σ) (was wir im Übergang von (c) zu (d) oben schon verwendet haben).

(4)	Für n = 2 gibt es genau die Permutationen (1, 2) und (2, 1). Damit gilt für alle A  ∈  K^{n × n} det A = sgn(1, 2) a₁₁ a₂₂ + sgn(2, 1) a₂₁ a₂₂ = a₁₁ a₂₂ − a₂₁ a₁₂. Damit haben wir die in 7. 1 gefundene Formel für 2 × 2-Matrizen reproduziert.

(5)

Für n = 3 gibt es genau sechs Permutationen:

(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) haben das Vorzeichen 1,

(3, 2, 1), (2, 1, 3), (1, 3, 2) haben das Vorzeichen −1.

Damit gilt für alle A  ∈  K^{3 × 3}

det A =	+ a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₃₁ a₁₂ a₂₃
	− a₃₁ a₂₂ a₁₃ − a₂₁ a₁₂ a₃₃ − a₁₁ a₃₂ a₂₃. (Regel von Sarrus)

Merkhilfe zur Regel von Sarrus: Die Produkte entlang der drei durchgezogenen (gestrichelten) Diagonalen haben ein positives (negatives) Vorzeichen.