7.5 Multiplikation und Transposition

Satz (Multiplikationssatz und Transpositionssatz für Determinanten)

Die Kernaussage des Multiplikationssatzes ist, dass die Determinantenfunktion ein Gruppenhomomorphismus von GL(n, K) in die multiplikative Gruppe K* ist.

Seien K ein Körper und n ≥ 1.

Multiplikationssatz

Für alle A, B  ∈  K^{n × n} gilt

det(AB) = det A det B.

Transpositionssatz

Für alle A  ∈  K^{n × n} gilt

det A^t = det A.

Die beiden Aussagen gehören zu den überraschenden Folgerungen der Determinantenaxiome. Sie lassen sich wie folgt beweisen.

Beweis des Multiplikationssatzes

Ist B  ∈  K^{n × n} mit det B = 0 und A  ∈  K^{n × n} beliebig, so ist A B singulär. Folglich ist

det(AB) = 0 = det A · 0 = det A det B.

Sei also B  ∈  K^{n × n} mit det B ≠ 0. Wir definieren det′ : K^{n × n} → K durch

det′ A = ^det(AB)_det B für alle A  ∈  K^{n × n}.

Dann gelten alle Determinantenaxiome für det′. Aufgrund der Eindeutigkeit einer Determinantenfunktion auf K^{n × n} ist det′ = det und damit

det(AB) = det′ A det B = det A det B für alle A  ∈  K^{n × n}.

Das Argument ist ein Paradebeispiel der Nützlichkeit einer möglichst einfachen axiomatischen Charakterisierung.

Beweis des Transpositionssatzes

Sei A  ∈  K^{n × n}. Dann gilt

det A^t = ∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) a_{1, σ(1)} … a_{n, σ(n)} =₍₁₎ ∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) a_{σ⁻¹(1), 1} … a_{σ⁻¹(n), n} =₍₂₎

∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ⁻¹) a_{σ⁻¹(1), 1} … a_{σ⁻¹(n), n} =₍₃₎ ∑_{π  ∈  S_n} sgn(π) a_{π(1), 1} … a_{π(n), n} = det A.

Dabei haben wir verwendet: (1) a_{1, σ(1)} … a_{n, σ(n)} und a_{σ⁻¹(1), 1} … a_{σ⁻¹(n), n} besitzen dieselben Faktoren, (2) sgn(σ⁻¹) = sgn(σ)⁻¹ für alle σ  ∈  S_n, (3) σ⁻¹ durchläuft die Gruppe S_n bijektiv, wenn dies für σ der Fall ist.

Mit Hilfe von Elementarmatrizen können wir das Ergebnis auch anders gewinnen:

Alternativer Beweis des Transpositionssatzes

W_ij(λ) = $( \begin{matrix} 1 \\ 1 & λ \\ … \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )$

W_ji(λ) = $( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ … \\ λ & 1 \\ 1 \end{matrix} )$

det(W_ij(λ)) = 1 = det(W_ji(λ))

W_ij(λ) = W_ij(λ)^t

Für alle λ  ∈  K und i, j mit i ≠ j gilt:

det(W_ij(λ)) = det(W_ij(λ)^t) = 1.

Ist A  ∈  K^{n × n}, so gibt es Additionstypen L₁, …, L_k und eine Dreiecksmatrix B mit

A L₁ … L_k = B.

Dann ist

L_k^t … L₁^t A^t = B^t.

Da die Diagonalen der Dreiecksmatrizen B und B^t übereinstimmen, gilt det B = det B^t. Da alle L_i und L_i^t die Determinante 1 haben, liefert der Multiplikationssatz

det A = det B = det B^t = det A^t.

Da sich beim Transponieren Spalten und Zeilen austauschen, ergibt sich:

Die für Spalten formulierten Determinantenaxiome und die daraus

abgeleiteten Spaltenregeln gelten analog auch für Zeilen.

Die Determinantenfunktion ist also auch in den Zeilen multilinear und alternierend. Damit bleibt die Determinante bei Addition des λ-Fachen einer Zeile zu einer anderen unverändert, wechselt beim Tausch von zwei Zeilen das Vorzeichen und skaliert mit λ, wenn eine Zeile mit λ multipliziert wird.

Beispiel

Für eine Matrix des K^{3 × 3} mit den Zeilen a, b, c gilt

det $( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} a^{t} & b^{t} & c^{t} \end{matrix} )$ = −det $( \begin{matrix} c^{t} & b^{t} & a^{t} \end{matrix} )$ = −det $( \begin{matrix} c \\ b \\ a \end{matrix} )$ .

Spaltenaxiome oder Zeilenaxiome?

Oft werden die Determinantenaxiome auch als Zeileneigenschaften formuliert und die Spalteneigenschaften gefolgert. Bei der axiomatischen Bevorzugung der Zeilen steht der Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen im Vordergrund, bei der Bevorzugung der Spalten die natürliche Übersetzung der Multilinearität einer Abbildung f : Vⁿ → W in die Sprache der Matrizen (mit V = Kⁿ = K^{n × 1}, Vⁿ = K^{n × n} ist f : K^{n × n} → K). Letztendlich gilt: Beide Zugänge liefern dieselbe Determinantenfunktion und sind damit äquivalent.