7.6 Der Entwicklungssatz von Laplace

Satz (Spalten- und Zeilenentwicklung)

Seien K ein Körper und n ≥ 2. Für alle A  ∈  K^{n × n} und 1 ≤ i, j ≤ n sei A_ij′  ∈  K^{(n − 1) × (n − 1)} die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Dann gilt für alle Matrizen A  ∈  K^{n × n} und alle Spaltenindizes 1 ≤ j ≤ n

det A = ∑_{1 ≤ i ≤ n} (−1)^i + j a_ij det A_ij′. (Entwicklung nach der j-ten Spalte)

Analog gilt für alle Zeilenindizes 1 ≤ i ≤ n

det A = ∑_{1 ≤ j ≤ n} (−1)^i + j a_ij det A_ij′. (Entwicklung nach der i-ten Zeile)

Der Entwicklungssatz stellt eine weitere Möglichkeit der Berechnung von Determinanten dar. Besonders geeignet ist er für Matrizen, die eine Zeile oder Spalte mit vielen Nulleinträgen besitzen.

Beweis des Entwicklungssatzes

Wesentliches Hilfsmittel sind die n × n-Matrizen

A_ij = $( \begin{matrix} a_{11} & … & 0 & … & a_{1 n} \\ … & … & … & … & … \\ 0 & … & 1 & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ a_{n 1} & … & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} )$   ∈  K^{n × n},

bei denen die i-te Zeile von A mit e_j und die j-te Spalte von A mit e_i überschrieben ist. Die Determinanten der Matrizen A_ij und A_ij′ stimmen bis auf ein von der Stelle (i, j) abhängiges Vorzeichen überein: Es gilt

det A_ij = det $( \begin{matrix} a_{1} & … & e_{i} & … & a_{n} \end{matrix} )$ = (−1)^{i − 1 + j − 1} det $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & A_{ij} ′ \end{matrix} )$ = (−1)^i + j det A_ij′,

wobei wir im zweiten Schritt eine (i − 1)-malige Zeilen- und eine (j − 1)-malige Spaltenvertauschung durchführen. Ist nun j festgewählt, so gilt

det A = $( \begin{matrix} a_{1}; & …; & \sum _{i} a_{ij} e_{i}; & …; & a_{n} \end{matrix} )$ = ∑_i a_ij det A_ij = ∑_i (−1)^i + j a_ij det A_ij′.

Die Zeilenentwicklung zeigt man analog.

Die im Entwicklungssatz von Laplace auftauchenden Vorzeichen (−1)^i + j haben eine schachbrettartige Verteilung (vgl. das Diagramm rechts).

$\begin{matrix} + & - & + & - & … \\ - & + & - & + & … \\ + & - & + & - & … \\ - & + & - & + & … \\ … & … & … & … & … \end{matrix}$

Die Spalten- oder Zeilenentwicklung kann mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Die Beispiele (3) und (4) illustrieren dieses Vorgehen.

Beispiele

(1)	Entwickeln wir A  ∈  K^{2 × 2} nach der ersten Spalte, so erhalten wir det A = a₁₁ det A₁₁′ − a₂₁ A₂₁′ = a₁₁ a₂₂ − a₂₁ a₁₂.

(2)

Entwickeln wir A  ∈  K^{3 × 3} nach der ersten Zeile, so erhalten wir

det A = a₁₁ det A₁₁′ − a₁₂ A₁₂′ + a₁₃ A₁₃′ =

a₁₁ det $( \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} )$ − a₁₂ det $( \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} )$ + a₁₃ det $( \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} )$ =

a₁₁ a₂₂ a₃₃ − a₁₁ a₂₃ a₃₂ − a₁₂ a₂₁ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ − a₁₃ a₂₂ a₃₁,

also erneut die Regel von Sarrus (vgl. 7. 4).

(3)	Zweimaliges Entwickeln nach der zweiten Zeile liefert det $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} )$ = −2.

(4)

Entwickeln nach der dritten und dann nach der zweiten Spalte ergibt

det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 1 & 7 \\ 1 & - 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )$ = −det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} )$ =

2 det $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} )$ + 2 det $( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} )$ = 2 · 2 + 2 · (−2) = 0.