7.7 Komplementärmatrizen und die Regel von Cramer

Definition (Komplementärmatrix)

Seien n ≥ 1, K ein Körper und A  ∈  K^{n × n}. Dann definieren wir die zu A komplementäre Matrix oder die Adjunkte von A als die Matrix A^#  ∈  K^{n × n} mit

a^#_ij = det A_ji für alle i, j.

A^# = $( \begin{matrix} {det A}_{11} ′ & - {det A}_{21} ′ & det A_{31} ′ & … \\ - {det A}_{12} ′ & {det A}_{22} ′ & - det A_{32} ′ & … \\ {det A}_{13} ′ & - {det A}_{23} ′ & det A_{33} ′ & … \\ … & … & … & … \end{matrix} )$

Die Matrix A^# entsteht aus A durch Ersetzen aller Einträge a_ij durch die Determinanten der Matrizen A_ij und anschließendes Transponieren. Nach den Ergebnissen aus 7. 6 gilt für alle n ≥ 2:

a^#_ij = (−1)^i + j det A_ji′.

Den Entwicklungssatz von Laplace können wir nun so schreiben:

det A = ∑_{1 ≤ i ≤ n} a_ij a^#_ji = (A^#A)(j, j) für alle j,

det A = ∑_{1 ≤ j ≤ n} a_ij a^#_ji = (A A^#)(i, i) für alle i.

Die Diagonalen von A^#A und AA^# sind also konstant gleich det(A). Allgemein gilt

(A^#A)(i, j) = ∑_k a^#_ik a_kj = ∑_k a_kj det(A_ki) =

∑_k a_kj det $( \begin{matrix} a_{1} & … & e_{k} & … & a_{n} \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} a_{1} & … & a_{j} & … & a_{n} \end{matrix} )$ = δ_ij det A für alle i, j,

wobei a₁, …, a_n die Spalten von A sind und e_k und a_j in der i-ten Spalte stehen. Analoges gilt für AA^#. Damit haben wir:

A^# A = det(A) E_n = A A^# für alle A  ∈  K^{n × n}.

Beispiele

(1)	Für alle A  ∈  K^{2 × 2} berechnet sich die komplementäre Matrix zu A^# = $( \begin{matrix} {det A}_{11} & {det A}_{21} \\ {det A}_{12} & {det A}_{22} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix} )$ .

(2)	Für A = E_n gilt det A_ij = δ_ij für alle i,j. Also ist E^#_n = E_n.

(3)	Für A = diag(d₁, …, d_n) ist A^# = diag(a^#₁₁, …, a^#_nn) mit a^#_ii = ∏_j ≠ i a_jj.

(4)	Für alle A  ∈  K^{n × n} gilt det(A^#) det(A) = det(A^# A) = det(det(A) E_n) = det(A)ⁿ. Für invertierbare A ist also det(A^#) = det(A)^n − 1.

Die Diagonale von A^#A und AA^# liefert den Entwicklungssatz von Laplace. Die Kenntnis des gesamten Produkts erlaubt die Berechnung von A⁻¹ mit Hilfe der Komplementärmatrix. Multiplizieren wir nämlich det(A) E_n = A^#A von rechts mit A⁻¹, so erhalten wir:

A⁻¹ = ^{A^#}_det A für alle A  ∈  GL(n, K).

Eine klassische Anwendung ist:

Ist A  ∈  GL(2, ℝ) und Ax = b, so gilt nach der Regel von Cramer

det $( \begin{matrix} x_{1} a_{1}; & a_{2} \end{matrix} )$ = x₁ det A = det $( \begin{matrix} b; & a_{2} \end{matrix} )$ .

Dies bedeutet, dass die beiden von x₁a₁, a₂ und b, a₂ aufgespannten Parallelogramme denselben Flächeninhalt haben. Analoges gilt für x₂.

Die Regel von Cramer

Seien A  ∈  GL(n, K) und b  ∈  Kⁿ. Für alle 1 ≤ j ≤ n sei A_j  ∈  K^{n × n} die Matrix, die aus A entsteht, wenn die j-te Spalte von A durch b ersetzt wird. Dann ist (x₁, …, x_n)  ∈  Kⁿ mit

x_j = ^det A_j_{det A} für alle j

die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems A x = b.

Schreiben wir nämlich die Lösung des Systems in der Form A⁻¹b, so gilt für alle j (vgl. die Berechnung von A^#A(i, j))

det(A) (A⁻¹ b)_j = (A^# b)_j =

∑_i b_i det(A_ij) = det $( \begin{matrix} a_{1} & … & b & … & a_{n} \end{matrix} )$

mit b in der j-ten Spalte. Dies zeigt die Regel von Cramer.

Beispiel

Für A  ∈  GL(2, K) benötigt die Regel von Cramer die Determinanten der Matrizen

A₁ = $( \begin{matrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{matrix} )$ , A₂ = $( \begin{matrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{matrix} )$ , A = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ .

Für das lineare Gleichungssystem

$( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 5 \\ 6 \end{matrix} )$

gilt det A₁ = 8, det A₂ = −9, det A = −2. Damit ist (−4, 9/2) die Lösung des Systems.