7.9 Volumina von Parallelotopen

Satz (geometrische Bedeutung der Determinante)

Seien 1 ≤ r ≤ n, a₁, …, a_r  ∈  ℝⁿ und A = $( \begin{matrix} a_{1} & … & a_{r} \end{matrix} )$   ∈  ℝ^{n × r}. Weiter sei

P = P(a₁, …, a_r) = { x  ∈  ℝⁿ | es gibt 0 ≤ λ₁, …, λ_r ≤ 1 mit x = ∑_i λ_i a_i }

das von a₁, …, a_r aufgespannte Parallelotop der Dimension dim(span(a₁, …, a_r)) ≤ r. Dann gilt für die gramsche Matrix A^t A  ∈  ℝ^{r × r}

(+) vol_r(P)² = det(A^tA) = det $( \begin{matrix} 〈 a_{1}, a_{1} 〉 & 〈 a_{1}, a_{2} 〉 & … & 〈 a_{1}, a_{r} 〉 \\ 〈 a_{2}, a_{1} 〉 & 〈 a_{2}, a_{2} 〉 & … & 〈 a_{2}, a_{r} 〉 \\ … & … & … & … \\ 〈 a_{r}, a_{1} 〉 & 〈 a_{r}, a_{2} 〉 & … & 〈 a_{r}, a_{r} 〉 \end{matrix} )$ ≥ 0,

wobei vol_r(·) das r-dimensionale Volumen im ℝⁿ bezeichnet und in der Determinante das kanonische Skalarprodukt des ℝⁿ verwendet wird. Insbesondere gilt für r = n

(++) vol_n(P) = |det A|.

P(a₁, a₂) ⊆ ℝ³

P(a₁, a₂, a₃) ⊆ ℝ³

Das Ergebnis setzt voraus, dass vol_r(P(a₁, …, a_r)) erklärt ist. Ohne Anleihe bei der Maß- und Integrationstheorie kann dies auf folgende Art geschehen:

Rekursive Definition des Volumens von Parallelotopen

Sei n ≥ 1. Für r = 1 sei vol₁(P(a₁)) = |a₁|. Rekursiv definieren wir nun in Verallgemeinerung von „Grundseite mal Höhe“ und „Grundfläche mal Höhe“:

vol_r + 1(P(a₁, …, a_r + 1)) = vol_r(P(a₁, …, a_r)) · h, wobei

h = ∥ a_r + 1 − pr_U(a_r + 1) ∥ mit U = span(a₁, …, a_r).

Es gilt vol_r(P(a₁, …, a_r)) = 0 genau dann, wenn (a₁, …, a_r) linear abhängig ist. Genau in diesem Fall ist auch die gramsche Determinante det(A^tA) gleich 0. Allgemein zeigt man (+) durch Induktion nach r ≤ n. Aus (+) folgt nun, dass vol_r(P(a₁, …, a_r)) nur von der Menge P und nicht von der Reihenfolge der a_i abhängt. Im Fall r = n gilt A^t, A  ∈  ℝ^{n × n} und det(A^tA) = det(A^t) det(A) = det(A)², woraus sich (++) ergibt.

Beispiele

(1)

Für das von den Vektoren a₁ = (1, 1, 1) und a₂ = (2, 1, −1) des ℝ³ aufgespannte Parallelogramm P ⊆ ℝ³ gilt

vol₂(P)² = det $( \begin{matrix} 〈 a_{1}, a_{1} 〉 & 〈 a_{1}, a_{2} 〉 \\ 〈 a_{2}, a_{1} 〉 & 〈 a_{2}, a_{2} 〉 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{matrix} )$ = 14.

Damit hat P den Flächeninhalt $\sqrt{14}$ .

(2)

Sei P ⊆ ℝ³ das von a₁ = (1, 1, 1), a₂ = (2, 1, −1) und a₃ = (1, 0, −1) aufgespannte Parallelepiped. Wegen

det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 3 & - 2 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = −1

gilt vol₃(P) = 1.

Die Volumenformel (++) lässt sich auch direkt mit Hilfe der Determinantenaxiome sehr anschaulich erklären (und umgekehrt lassen sich die Axiome dadurch motivieren). Ist n = 2, so gilt für alle a₁, a₂, a₁′, a₂′  ∈  ℝ² und λ  ∈  ℝ mit vol = vol₂:

(1)	vol(P(λ a₁, a₂)) = \|λ\| vol(P(a₁, a₂)) = vol(P(a₁, λ a₂)), (Streckung) vol(P(a₁ + a₁′, a₂)) = vol(P(a₁, a₂)) + vol(P(a₁′, a₂)), vol(P(a₁, a₂ + a₂′)) = vol(P(a₁, a₂)) + vol(P(a₁, a₂′)), (Additivität)

(2)	vol(P(a₁, a₁)) = 0, (degenerierter Fall)

(3)	vol(P(e₁, e₂)) = 1. (Normierung)

Bis auf den Betrag bei λ entsprechen diese Eigenschaften genau den Determinantenaxiomen. Analoge Überlegungen gelten für andere Dimensionen.

Im Unterschied zum Volumen ist die Determinante vorzeichenbehaftet. Anders als das Volumen ändert sie ihr Vorzeichen, wenn zwei aufspannende Vektoren vertauscht werden. Die Determinante det(A) enthält damit auch eine Information über die Orientierung von P.

Die Volumenveränderung einer linearen Abbildung

Ist f : ℝⁿ → ℝⁿ linear, so ist das Bild des Einheitswürfels P = P(e₁, …, e_n) unter f das Parallelotop P_f = P(f (e₁), …, f (e_n)). Das Volumen von P_f ist der Betrag der Determinante der f darstellenden Matrix A (bzgl. der Standardbasis). Wegen

vol_n(P) = 1, |det(A)| = vol_n(P_f)

können wir also |det(A)| als Maß für die durch die lineare Abbildung bewirkte Volumenveränderung ansehen.