8.10 Minimalpolynome und der Satz von Cayley-Hamilton

Satz (Existenz des Minimalpolynoms, Satz von Cayley-Hamilton)

Seien K ein Körper, n ≥ 1, A  ∈  K^{n × n} und

I_A = { p  ∈  K[ X ] | p(A) = 0 }.

Dann gibt es genau ein Polynom m_A  ∈  I_A mit

(+) m_A ist normiert und I_A = { qm_A | q  ∈  K[ X ] }. (Existenz des Minimalpolynoms)

Weiter gilt p_A  ∈  I_A, d. h. p_A(A) = 0. (Satz von Cayley-Hamilton)

Zerfällt p_A in Linearfaktoren, so hat m_A Exponenten ν_i mit 1 ≤ ν_i ≤ μ_i. Ist A diagonalisierbar, so gilt ν_i = 1 für alle i. In 8. 11 werden wir die ν_i allgemein charakterisieren.

Während wir bislang Körperelemente in Polynome des Rings K[ X ] eingesetzt haben (jedes α  ∈  K und p  ∈  K[ X ] liefert ein p(α)  ∈  K), so setzen wir nun quadratische Matrizen einer bestimmten Dimension n in die Polynome von K[ X ] ein: Ist

p = α₀X⁰ + α₁X + … + α_k X^k  ∈  K[ X ],

so ist für alle A  ∈  K^{n × n} die Auswertung p(A) definiert durch

p(A) = α₀ E_n + α₁A + … + α_k A^k  ∈  K^{n × n}.

Nun halten wir ein Matrix A  ∈  K^{n × n} fest und werten alle Polynome p  ∈  K[ X ] an der Stelle A aus. Die Menge I_A aller p mit p(A) = 0 ist ein Ideal in K[ X ], d. h., I_A ist eine Untergruppe von (K[ X ], +) und für alle p  ∈  I_A und q  ∈  K[ X ] ist qp  ∈  I_A. Zudem gilt I_A ≠ { 0 }. Denn der Vektorraum K^{n × n} hat die Dimension d = n², sodass (E_n, A, A², …, A^d) linear abhängig ist. Es gibt also eine nichttriviale Nulldarstellung

0 = α₀E_n + α₁ A + … + α_d A^d.

Also ist A eine Nullstelle von p = α₀ + α₁X + … + α_d X^d, 1 ≤ deg(p) ≤ n². Der Satz von Cayley-Hamilton besagt stärker, dass ein Polynom p ≠ 0 vom Grad n in I_A als Element enthalten ist: A ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms p_A.

Beispiele

(1)	Sei A  ∈  K^{2 × 2} mit den Zeilen (a, b), (c, d). Wegen p_A = X² − spur(A)X + det(A) gilt p_A(A) = $( \begin{matrix} a^{2} + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^{2} \end{matrix} )$ − (a + d) $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ + (ad − bc) E₂ = 0.

(2)	Ist D = diag(d₁, …, d_n), so ist p_D = (d₁ − X) · … · (d_n − X). Damit ist p_D(D) = (d₁E_n − D) … (d_nE_n − D) = diag(0, …, 0) = 0.

(3)	Sind A, B  ∈  K^{n × n} ähnlich, B = SAS⁻¹, so gilt B^k = S A^k S⁻¹ für alle k ≥ 0. Ist p = ∑_i ≤ k α_i Xⁱ  ∈  K[ X ], so gilt p(B) = ∑_i ≤ k α_k (SAS⁻¹)^k = ∑_i ≤ k α_k SA^kS⁻¹ = S p(A) S⁻¹. Damit sind p(A) und p(B) wieder ähnlich.

Das eindeutig bestimmte Polynom m_A mit der Eigenschaft (+) des Satzes heißt das Minimalpolynom von A. Wichtige Eigenschaften dieses Polynoms sind:

p_A und m_A haben dieselben Nullstellen:

σ(A) = { λ  ∈  K | m_A(λ) = 0 }.

A ist genau dann diagonalisierbar, wenn m_A = ∏_{λ  ∈  σ(A)} (X − λE_n).

Beispiele

(1)

Für die Matrix

A = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )$  ∈  ℝ^{4 × 4} gilt p_A = (X − 1)³(X − 2).

Also ist m_A = (X − 1)^k (X − 2) mit k  ∈  { 1, 2, 3 }. Einsetzen zeigt, dass (A − E₄)(A − 2E₄) ≠ 0, (A − E₄)² (A − 2E₄) = 0. ist m_A = (X − 1)² (X − 2).

(2)	Sei P  ∈  K^{n × n} eine Projektion, d. h., es gilt P² = P. Dann gilt P² − P = 0, sodass X² − X = X (X − 1)  ∈  I_P. Damit ist das Minimalpolynom eines der drei Polynome X, X − 1, X² − X.

(3)

Ein A  ∈  K^{n × n} heißt nilpotent, falls es ein k ≥ 1 gibt mit A^k = 0. Beispiele liefern alle Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge alle null sind, etwa

A = $( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )$ , A² = $( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )$ , A³ = $( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )$ , A⁴ = 0.

Ist r minimal mit A^r = 0, so ist m_A = X^r, σ(A) = { 0 }, p_A = (−1)ⁿ Xⁿ. Ist A ≠ 0, so ist r > 1 und damit A nicht diagonalisierbar.

Minimalpolynom eines Endomorphismus

Wie für das charakteristische Polynom kann man auch das Minimalpolynom m_f eines Endomorphismus f : V → V, V endlich-dimensional, definieren: Man setzt m_f = m_A, wobei A die darstellende Matrix von f bzgl. einer beliebigen Basis von V ist.