8.11 Haupträume und Hauptraumzerlegung

Definition (Index, Hauptraum, Hauptvektor)

Haupträume von Endomorphismen

Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, n ≥ 1, und f : V → V ein Endomorphismus. Weiter sei λ  ∈  σ(f). Dann setzen wir

H_k = H_k(f, λ) = Kern((f − λId_V)^k) für alle k ≥ 1,

i(λ) = i(f, λ) = min({ k ≥ 1 | H_k + 1 = H_k }), (Index von f bzgl. λ)

H(f, λ) = H_i(λ). (Hauptraum von f bzgl. λ)

Die Elemente von H(f, λ) heißen die Hauptvektoren von f zum Eigenwert λ.

Haupträume für Matrizen

Für eine Matrix A  ∈  K^{n × n} definieren wir

H_k(A, λ) = H_k(f_A, λ), H(A, λ) = H(f_A, λ).

Das Ziel dieses und des folgenden Abschnitts ist es, die Trigonalisierung eines Endomorphismus, dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, noch zu verbessern. Wir streben eine Darstellung durch eine obere Dreiecksmatrix an, deren Einträge außerhalb der Diagonale und der Nebendiagonale verschwinden. Das entscheidende Hilfsmittel hierzu ist die Verallgemeinerung von Eigenräumen zu Haupträumen. Es gilt

Eig(f, λ) = H₁ ⊂ H₂ ⊂ … ⊂ H_i(λ) = H_i(λ) + 1 = H(f, λ),

Bild(f − λ Id_V) ⊃ Bild((f − λ Id_V)²) ⊃ … ⊃ Bild((f − λ Id_V)^i(λ)).

Bis zum Index i(λ) liegen strikte Inklusionen vor. Aufgrund der endlichen Dimension von V muss irgendwann Gleichheit eintreten. Wichtige Eigenschaften sind:

v  ∈  H_k + 1 genau dann, wenn f (v) − λv  ∈  H_k

f[ H_k ] ⊆ H_k, f[ H(f, λ) ] ⊆ H(f, λ) (Invarianz)

dim(H(f, λ)) = μ_{p_f}(λ)

Der Index i(λ) ist der Exponent des Linearfaktors (X − λ) des Minimalpolynoms m_f.

Sind U₁, …, U_i(λ) mit H_k = U₁ ⊕ … ⊕ U_k für alle k, so ist dim(U₁) ≥ … ≥ dim(U_i(λ)).

V = H(f, λ) ⊕ Bild((f − λId_V)^i(λ))

Die letzte Eigenschaft ist die Keimzelle eines Beweises von:

$( \begin{matrix} A (λ_{1}) \\ A (λ_{2}) \\ … \\ A (λ_{m}) \end{matrix} )$

Fügen wir Basen der verschiedenen Haupträume H(f, λ₁), …, H(f, λ_m) aneinander, so erhalten wir eine Basis 𝒜 von V. Aufgrund der Invarianz der Haupträume hat die darstellende Matrix von f bzgl. 𝒜 eine diagonale Blockform. Es gilt A(λ_j)  ∈  K^{μ_j × μ_j} wobei μ_j = μ_{p_f}(λ_j).

Satz (Hauptraumzerlegung)

Sei f : V → V wie oben. Zerfällt p_f in Linearfaktoren, so existiert eine Basis von V bestehend aus Hauptvektoren von f und es gilt

V = ⨁_{λ  ∈  σ(f)} H(f, λ).

Beispiele

(1)

Für die nicht diagonalisierbare (2 × 2)-Matrix A aus 8. 4 gilt

A = $( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} )$ , p_A = (X − 1)²,

σ(A) = { 1 }, Eig(A, 1) = span(e₁ − e₂), Kern((A − E₂)²) = Kern(0) = ℝ².

Also ist i(1) = 2 und H(A, 1) = ℝ² (wie es nach dem Satz auch sein muss, da nur ein Eigenwert existiert). Jede Basis von ℝ² ist eine Basis aus Hauptvektoren.

(2)

Für A = $( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} )$ gilt p_A = − (X − 2)² (X − 3), σ(f) = { 2, 3 },

(A − 2E₃)² = $( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = (A − 2E₃)³,

Eig(A, 2) = span(e₁), H(A, 2) = span(e₁, e₂),

Bild(A − 2E₃) = span(e₁, e₂ + e₃), Bild((A − 2E₃)²) = span(e₁ + e₂ + e₃),

Eig(A, 3) = H(A, 3) = span(e₁ + e₂ + e₃), Bild(A − 3E₃) = span(e₁, e₂),

ℝ³ = H(A, 2) ⊕ H(A, 3) = span(e₁, e₂) ⊕ span(e₁ + e₂ + e₃).

$( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} )$

𝒜 = (e₁, e₂, e₁ + e₂ + e₃) ist eine Basis aus Hauptvektoren. Die Matrix links stellt f_A bzgl. 𝒜 dar.

Das Beispiel zeigt, dass

H_k(A, λ) ∩ Bild((A − λE_n)^k) ≠ { 0 }

für k < i(λ) gelten kann.

(3)

Sei A  ∈  K^{n × n} diagonalisierbar. Dann gibt es ein S  ∈  GL(n, K) mit

A = S diag(λ₁, …, λ_n) S⁻¹, σ(A) = { λ₁, …, λ_n }.

Für alle λ und m ≥ 1 gilt (A − λE_n)^m = S diag((λ₁ − λ)^m, …, (λ_n − λ)^m) S⁻¹, sodass Kern((A − λE_n)^m) = Kern(A − λE_n). Damit ist i(λ) = 1 und H(A, λ) = Eig(A, λ) für alle λ  ∈  σ(A).