8.3 Das charakteristische Polynom

Definition (charakteristisches Polynom)

p_A = det $( \begin{matrix} a_{11} - X & a_{12} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} - X & … & a_{2 n} \\ … & … & … & … \\ a_{n 1} & … & … & a_{nn} - X \end{matrix} )$

Charakteristisches Polynom einer Matrix

Seien K ein Körper und A  ∈  K^{n × n}, n ≥ 1. Dann heißt

p_A = det(A − XE_n)   ∈  K [ X ]

das charakteristische Polynom von A.

Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus

Sind V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus, so heißt

p_f = det(A − XE_n)   ∈  K[ X ]

das charakteristische Polynom von f, wobei A  ∈  K^{n × n} die darstellende Matrix von f bzgl. einer beliebigen Basis von V ist.

Die Definition ist durch die Beobachtung motiviert, dass ein Skalar λ genau dann ein Eigenwert von A ist, wenn A − λE_n singulär ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

p_A(λ) = det(A − λE_n) = 0.

Mit anderen Worten:

Die Nullstellen von p_A sind die Eigenwerte von A.

Bemerkung

Wir haben Determinanten nur für Matrizen mit Einträgen aus einem Körper K eingeführt. Hier benötigen wir sie für Matrizen mit Einträgen im Polynomring K[ X ]. Folgende Lösungen sind möglich: (1) Man entwickelt die Determinantentheorie allgemeiner für Matrizen über Ringen. (2) Man erweitert den Polynomring K[ X ] zum Körper K(X) der rationalen Funktionen, dessen Elemente in der Form P(X)/Q(X) mit P(X), Q(X)  ∈  K[ X ] dargestellt werden können. Wegen K[ X ] ⊆ K(X) ist dann die benötigte Determinante erklärt.

Die Leibniz-Formel zeigt, dass p_A tatsächlich ein Polynom (vom Grad n) ist:

p_A = det(A − XE_n) =	∑_{σ  ∈  S_n} sgn(σ) (a_{σ(1), 1} − Xδ_{σ(1), 1}) … (a_{σ(n), n} − Xδ_{σ(n), n}) =
	b₀ + b₁ X¹ + … + b_n Xⁿ,

mit gewissen Koeffizienten b₀, …, b_n  ∈  K, von denen wir drei einfach angeben können:

b₀ = det(A), b_n − 1 = (−1)^n − 1(a₁₁ + … + a_nn), b_n = (−1)ⁿ.

Um zu zeigen, dass das charakteristische Polynom p_f nicht von der Wahl der Basis abhängt, betrachten wir ein S  ∈  GL(n, K). Dann gilt für A′ = SAS⁻¹:

det(A − XE_n) = det(S) det(A − XE_n) det(S⁻¹) = det(S (A − XE_n) S⁻¹) =

det(SAS⁻¹ − S XE_n S⁻¹) = det(SAS⁻¹ − XE_n) = det(A′ − XE_n).

Mit anderen Worten:

Ähnliche Matrizen besitzen dasselbe charakteristische Polynom.

Die Darstellung von b_n − 1 motiviert einen neuen Begriff: Die Summe der Diagonaleinträge einer Matrix A heißt die Spur von A,

spur(A) = a₁₁ + … + a_nn.

Da die charakteristischen Polynome ähnlicher Matrizen gleich sind, folgt: Ähnliche Matrizen besitzen die gleiche Spur. Ist A diagonalisierbar, so ist die Spur von A also die Summe λ₁ + … + λ_n der (in ihrer Vielfachheit gezählten) Eigenwerte von A.

Beispiel: Die Dimension n = 2

Für n = 2 gilt

p_A = det(A − XE_n) = $( \begin{matrix} a_{11} - X & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - X \end{matrix} )$ = (a₁₁ − X)(a₂₂ − X) − a₁₂ a₂₁ =

X² − (a₁₁ + a₂₂) X + a₁₁ a₂₂ − a₁₂ a₂₁ = X² − spur(A) X + det(A).

Ist K = ℝ, so entscheidet die Diskriminante d = spur(A)² − 4 det(A) über die Existenz von Eigenwerten:

Ist d < 0, so hat A keine Eigenwerte.

Ist d = 0, so ist spur(A)/2 der einzige Eigenwert von A.

Ist d > 0, so hat A die zwei Eigenwerte λ_1,2 = (spur(A) ± $\sqrt{d}$ )/2.

Für die in 8. 2 betrachtete Matrix A = $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$   ∈  ℝ^{2 × 2} ist d = 8 und wir erhalten

p_A = X² − 2X − 1 = (X − (1 + w)) (X − (1 − w)) mit w = $\sqrt{2}$ .

Zugehörige Eigenvektoren kann man nun durch Lösen der Gleichungssysteme

(A − (1 + w) E₂)x = 0, (A − (1 − w) E₂)x = 0

finden. Die Eigenräume sind Geraden durch 0.