8.4 Das Diagonalisierbarkeitskriterium

Satz (Diagonalisierbarkeitskriterium, Übereinstimmung der Vielfachheiten)

Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist diagonalisierbar.

(b)

Das charakteristische Polynom p_f  ∈  K[ X ] von f zerfällt in Linearfaktoren,

p_f = (−1)ⁿ (X − λ₁)^μ₁ (X − λ₂)^μ₂ … (X − λ_k)^μ_k, mit λ_i ≠ λ_j für i ≠ j,

und für alle Eigenwerte λ von f ist die geometrische Vielfachheit von λ gleich der algebraischen Vielfachheit von λ als Nullstelle von p_f :

dim(Eig(f, λ_i)) = μ_i für alle 1 ≤ i ≤ k.

Wir wissen, dass die Nullstellen von p_f die Eigenwerte von f sind: σ(f) = { λ | p_f(λ) = 0 }. Weiter wissen wir, dass f genau dann diagonalisierbar ist, wenn V die direkte Summe aller Eigenräume ist. Die Diagonalisierbarkeit von f ist also gleichwertig zu

∑_{λ  ∈  σ(f)} dim(Eig(f, λ)) = n.

Gilt (b) wie im Satz, so ist dies erfüllt, da dann

∑_{λ  ∈  σ(f)} dim(Eig(f, λ)) = ∑_{1 ≤ i ≤ k} μ_i = n.

Um auch „(a) impliziert (b)“ zu zeigen, beobachten wir, dass für alle Endomorphismen f und alle Eigenwerte λ von f unabhängig vom Zerfallen von p_f in Linearfaktoren gilt:

Die geometrische Vielfachheit von λ ist kleinergleich der

algebraischen Vielfachheit der Nullstelle λ von p_f.

Um die Ungleichung einzusehen, ergänzen wir eine Basis (v₁, …, v_k) von Eig(f, λ) zu einer Basis 𝒜 = (v₁, …, v_n) von V. Dann hat die darstellende Matrix von f bzgl. 𝒜 die Blockform

A = $( \begin{matrix} λ E_{k} & B \\ 0 & C \end{matrix} )$ , k = dim(Eig(f, λ)).

Da wir zur Berechnung von p_f eine beliebige darstellende Matrix verwenden können, ist

p_f = det(A − XE_n) = det(λE_k − XE_k) det(C − XE_n − k) = (λ − X)^k p_C, sodass k ≤ μ_{p_f}(λ).

Ist f diagonalisierbar, so gilt also

n = ∑_{λ  ∈  σ(f)} dim(Eig(f, λ)) ≤ ∑_{p_f(λ) = 0} μ_{p_f}(λ) ≤ n.

Dies ist nur möglich, wenn μ_{p_f}(λ) = dim(Eig(f, λ)) für alle λ  ∈  σ(f), sodass (b) gilt.

In ℂ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren (Fundamentalsatz der Algebra, vgl. 2. 12). Damit erhalten wir:

Diagonalisierbarkeitskriterium für Endomorphismen f : ℂ → ℂ

f ist genau dann diagonalisierbar, wenn dim(Eig(f, λ)) = μ_{p_f}(λ) für alle λ  ∈  σ(f).

Die folgenden Beispiele zeigen, dass die geometrische Vielfachheit echt kleiner sein kann als die algebraische Vielfachheit.

v(ε) = (1, 1) ≠ w(ε) für ε > 0, v(0) = w(0)

Beispiele

(1)

Für ε ≥ 0 sei

A(ε) = $( \begin{matrix} 0 & ε + 1 \\ ε - 1 & 2 \end{matrix} )$ .

Es gilt

p_A(ε) = det $( \begin{matrix} - X & ε + 1 \\ ε - 1 & 2 - X \end{matrix} )$ = (X − 1)² − ε²,

sodass σ(A(ε)) = { 1 + ε, 1 − ε } mit Eigenvektoren

v(ε) = (1, 1), w(ε) = ((1 + ε)/(1 − ε), 1)).

Im Grenzfall ε = 0 erhalten wir eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms, deren geometrische Vielfachheit gleich 1 ist.

(2)

Seien a, b, c  ∈  ℝ. Für die obere Dreiecksmatrix

A = $( \begin{matrix} a & b \\ 0 & c \end{matrix} )$   ∈  ℝ^{2 × 2}

ist p_f = (a − X) (c − X). Damit gilt σ(f) = { a, c }. Ist a ≠ c, so ist A diagonalisierbar; die Vektoren v₁ = e₁ = (1, 0) und v₂ = (b/(c − a), 1) bilden eine Eigenbasis. Ist a = c, so ist a eine doppelte Nullstelle von p_f und

dim(Eig(A, a)) = dim Kern(A − aE₂) = 2 − rang $( \begin{matrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{matrix} )$  ∈  { 1, 2 }.

Im Fall a = c ist also A genau dann diagonalisierbar, wenn b = 0. Für b = 0 sind e₁ und e₂ Eigenvektoren, für b ≠ 0 ist Eig(A, a) = span(e₁).