8.6 Der Spektralsatz

Satz (Spektralsatz)

Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen

Seien V ein euklidischer oder unitärer n-dimensionaler Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Dann sind äquivalent:

(a)	f = f*, d. h., es gilt 〈 f (v), w 〉 = 〈 v, f (w) 〉 für alle v, w  ∈  V.

(b)	σ(f) ⊆ ℝ und V besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f.

Spektralsatz für symmetrische bzw. hermitesche Matrizen

Seien n ≥ 1 und A  ∈  ℝ^{n × n} bzw. A  ∈  ℂ^{n × n}. Dann sind äquivalent:

(a)	A = A* (im Fall K = ℝ also A = A^t).

(b)	σ(f) ⊆ ℝ und es gibt eine orthogonale bzw. unitäre Matrix S derart, dass S A S⁻¹ diagonal ist.

Selbstadjungierte Endomorphismen sind also nicht nur diagonalisierbar, sondern sogar orthogonal diagonalisierbar: Es gibt eine Eigenbasis, die eine Orthonormalbasis von V ist. In der Sprache der Matrizen bedeutet dies: Eine hermitesche Matrix A ist nicht nur ähnlich zu einer Diagonalmatrix D = diag(λ₁, …, λ_n), sondern der Übergang D = SAS⁻¹ kann sogar mit einer orthogonalen bzw. unitären Matrix S erreicht werden, sodass S⁻¹ = S*.

Beweis des Spektralsatzes für K = ℂ

Ist f selbstadjungiert, λ  ∈  σ(f) und v ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ, so gilt

λ 〈 v, v 〉 = 〈 v, λv 〉 = 〈 v, f (v) 〉 = 〈 f (v), v 〉 = 〈 λv, v 〉 = λ 〈 v, v 〉 mit 〈 v, v 〉 ≠ 0,

sodass λ = λ und damit λ  ∈  ℝ. Das Polynom p_f hat in ℂ eine Nullstelle, und diese ist nach dem Gezeigten reell. Mit diesen Beobachtungen kann durch Induktion nach n bewiesen werden, dass V eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. Im Induktionsschritt von n − 1 nach n betrachten wir λ und v ≠ 0 mit f (v) = λv und setzen

U = span(v)^⊥ = { u  ∈  V | 〈 u, v 〉 = 0 }.

Für alle u  ∈  U gilt

〈 f (u), v 〉 = 〈 u, f (v) 〉 = 〈 u, λv 〉 = λ 〈 u, v 〉 = 0,

sodass f[ U ] ⊆ U. Damit ist f|U : U → U ein selbstadjungierter Endomorphismus, der nach Induktionsvoraussetzung eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. Ergänzen wir eine solche Basis um v, so erhalten wir wegen V = U ⊕ span(v) eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f für ganz V.

Ist umgekehrt (v₁, …, v_n) eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von f, so ist

〈 f (v_i), v_j 〉 = 〈 λ_iv_i, v_j 〉 = λ_i 〈 v_i, v_j 〉 = λ_i δ_ij = 〈 v_i, λ_jv_j 〉 = 〈 v_i, f (v_j) 〉 für alle i, j.

Hieraus ergibt sich, dass f selbstadjungiert ist.

Beispiel

Seien a, b  ∈  ℝ mit a² + b² = 1. Weiter sei α der von (a, b) und (1, 0) eingeschlossene Winkel. Dann beschreibt die symmetrische Matrix

A = $( \begin{matrix} a & b \\ b & - a \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} cos α & sin α \\ sin α & - cos α \end{matrix} )$   ∈  O(2), det(A) = −1,

die Spiegelung an der Geraden G durch 0 mit dem Winkel β = α/2 (vgl. 7. 8). Damit hat A die Eigenwerte λ_{1, 2} = ±1 und zugehörige normierte Eigenvektoren

v₁ = N(a + 1, b) = (cos β, sin β),

v₂ = N(−b, a + 1) = (− sin β, cos β),

mit N(v) = v/∥v∥. Ist T die Matrix mit den Spalten v₁ und v₂, so ist T die Drehmatrix in SO(2) um den Winkel β. Für S = T⁻¹ = T^t gilt also

S A S⁻¹ = $( \begin{matrix} cos β & sin β \\ - sin β & cos β \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} a & b \\ b & - a \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} cos β & - sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} )$ .

Schreibt man eine beliebige symmetrische Matrix B  ∈  ℝ^{2 × 2} als

B = diag(d, d) + r A, mit d = spur(B)/2, r = ∥ (b₁₁ − b₂₂)/2, b₂₁) ∥,

so hat A die gerade untersuchte Form. Man kann nun ablesen, dass B die Eigenwerte d ± r und die Eigenvektoren v₁, v₂ wie oben besitzt.

Der Spektralsatz für normale Endomorphismen und Matrizen

Für K = ℝ ist σ(f) ⊆ ℝ immer richtig, sodass die Existenz einer orthonormalen Eigenbasis äquivalent zur Selbstadjungiertheit von f ist. Für K = ℂ liefert das Streichen von „σ(f) ⊆ ℝ“ in (b) eine echte Abschwächung, die sich ebenfalls durch eine Adjungiertheits-Bedingung einfangen lässt. Zur Motivation beobachten wir: Für alle f  ∈  End(V) sind f ∘ f* und f* ∘ f selbstadjungiert. Im Allgemeinen ist aber f ∘ f* ≠ f* ∘ f. Man nennt f normal, falls f ∘ f* = f* ∘ f. Gleichwertig dazu ist, dass 〈 f (v), f (w) 〉 = 〈 f*(v), f*(w) 〉 für alle v, w  ∈  V. Wichtige Beispiele neben den selbstadjungierten Endomorphismen sind unitäre f, da dann f ∘ f* = f ∘ f ⁻¹ = f ⁻¹ ∘ f = f* ∘ f. Äquivalent sind nun:

(a) f ist normal. (b) V besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f.

Analog nennt man eine Matrix A  ∈  ℂ^{n × n} normal, falls A A* = A* A. Die Normalität von A  ∈  ℂ^{n × n} ist äquivalent zur Existenz einer unitären Matrix S, für die SAS⁻¹ diagonal ist. Normalität für reelle Matrizen diskutieren wir im Überblick 10.