1. Eigenwerte ohne Determinanten

Alternativer Beweis der Existenz eines Eigenwerts einer komplexen Matrix

Sei A  ∈  ℂ^{n × n}. Wir zeigen, dass A einen Eigenwert λ  ∈  ℂ besitzt. Hierzu sei v  ∈  ℂⁿ − { 0 } beliebig. Wegen dim(ℂⁿ) = n gibt es ein kleinstes m ≤ n, sodass

(v,  Av,  A²v,  …,  A^mv)

linear abhängig ist. Dann existieren α₀, …, α_m  ∈  ℂ, α_m ≠ 0, mit

(+)  0  =  α₀v  +  α₁Av  +  …  +  α_mA^mv  =  (α₀E_n  +  α₁A  +  …  +  α_mA^m)v.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es λ₁, …, λ_m  ∈  ℂ mit

α₀  +  α₁X  +  …  +  α_m X^m  =  α_m (X − λ_m) … (X − λ₁).

Nach (+) gilt also

(++)  α_m(A − λ_mE_n) … (A − λ₁E_n) v  =  0.

Ist nun 1 ≤ j ≤ m minimal mit

(A − λ_jE_n) … (A − λ₁E_n)v  =  0,

so ist λ_j ein Eigenwert von A zum Eigenvektor

v_j  =  (A − λ_j − 1E_n) … (A − λ₁E_n)v  ≠  0,  mit v_j = v im Fall j = 1.

(Allgemein ist jedes λ_i ein Eigenwert von A, da man sonst (++) mit (A − λ_iE_n)⁻¹ multiplizieren könnte und durch Ausmultiplizieren eine nichttriviale Nulldarstellung mit den Vektoren v,  Av,  A²v,  …,  A^m − 1v erhalten würde.)