2. Eigenwerte ohne Fundamentalsatz

 Unsere Beweise für die Existenz von Eigenwerten beruhen auf dem Fundamentalsatz der Algebra. Für den wichtigen Spezialfall einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix ist es möglich, den Einsatz des Fundamentalsatzes (und von Determinanten) durch ein analytisches Argument zu ersetzen. Für die folgende Diskussion setzen wir Grundkenntnisse der mehrdimensionalen Differentialrechnung voraus.

 Seien n ≥ 1 und A  ∈  ℝn × n. Dann heißt die Funktion RA : ℝn − { 0 } → ℝ mit

RA(x)  =  〈 x, Ax 〉〈 x, x  〉  für alle x  ∈  ℝn − { 0 }

der Rayleigh-Quotient von A (dabei wird das kanonische Skalarprodukt verwendet). Wichtige Eigenschaften sind:

(1)

Die Funktion RA : ℝn − { 0 } → ℝ ist stetig.

(2)

RA(αx)  =  RA(x)  für alle α  ∈  ℝ* und x  ∈  ℝn − { 0 }. (Homogenität)

(3)

Ist λ ein Eigenwert von A und x ein zugehöriger Eigenvektor, so gilt

RA(x)  =  〈 x, Ax 〉〈 x, x  〉  =  λ 〈 x, x 〉〈 x, x  〉  =  λ.

Analytischer Beweis der Existenz eines Eigenwerts für symmetrische Matrizen

Sei A  ∈  ℝn × n symmetrisch, und sei Sn − 1 = { x  ∈  ℝn | ∥ x ∥ = 1 } die Einheitssphäre im ℝn (mit der euklidischen Norm). Da RA stetig und Sn − 1 kompakt ist, nimmt RA|Sn − 1 in einem Punkt x  ∈  Sn − 1 ihr Maximum an. Aufgrund der Homogenität ist dieses Maximum global, sodass der Gradient von RA im Punkt x gleich dem Nullvektor ist:

0  =  grad(RA) (x)  =  2 〈 x, x 〉 Ax  −  〈 x, Ax 〉 x〈 x, x 〉2 .

(Bei der Berechnung des Gradienten verwenden wir, dass A symmetrisch ist.)

Damit ist 〈 x, x 〉 Ax − 〈 x, Ax 〉 x = 0, sodass

Ax  =  〈 x, Ax 〉〈 x, x  〉 x  =  RA(x) x.

Dies zeigt, dass RA(x) ein Eigenwert von A und x ein zugehöriger Eigenvektor ist. Genauer ist RA(x) der größte Eigenwert von A.

 Durch Bildung von orthogonalen Unterräumen ergibt sich induktiv, dass jede symmetrische Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. Analoge Überlegungen gelten für hermitesche Matrizen A  ∈  ℂn × n (dann ist RA auf ℂn − { 0 } definiert, aber nach wie vor reellwertig). Insgesamt ergibt sich ein Beweis des Spektralsatzes, der den Fundamentalsatz der Algebra nicht verwendet.