4. Matrixnormen

Ist n ≥ 1 und ∥ · ∥ : ℂⁿ → [ 0, ∞ [ eine Norm auf dem ℂⁿ, so definiert

∥ A ∥ = max { ∥ Az ∥ | z  ∈  S^n − 1 },

eine Norm ∥ · ∥ : ℂ^{n × n} → [ 0, ∞ [, wobei S^n − 1 = { z  ∈  ℂⁿ | ∥ z ∥ = 1 }. Sie heißt die von der Norm ∥ · ∥ induzierte Matrixnorm auf ℂ^{n × n}. Da die Einheitssphäre S^n − 1 eine kompakte Teilmenge des ℂⁿ ist (unter der von der Norm ∥ · ∥ induzierten Metrik), nimmt die stetige Funktion F : S^n − 1 → ℝ, F(z) = ∥ A z ∥, ihr Maximum an, sodass ∥ A ∥ wohldefiniert ist. Die Homogenität, Definitheit und Dreiecksungleichung folgen aus den entsprechenden Eigenschaften der Ausgangsnorm.

Die Spektral-Normen

Wir nehmen nun an, dass die Norm auf dem ℂⁿ die euklidische Norm ist und bestimmen schrittweise die Werte der induzierten Matrixnorm. Wir schreiben ∥ · ∥ statt ∥ · ∥₂.

Diagonalmatrizen

Ist A = diag(d₁, …, d_n) und d = max_k |d_k|, so gilt

∥ Az ∥² = |d₁ z₁|² + … + |d_n z_n|² ≤ d² (| z₁|² + … + |z_n|²) = d² für alle z  ∈  S^n − 1.

Wegen ∥ A e_k ∥ = ∥ d_ke_k ∥ = |d_k| für alle k ist also ∥ A ∥ = d.

Unitäre Matrizen

Ist U  ∈  U(n), so bildet f_U die Sphäre S^n − 1 bijektiv auf sich selbst ab. Hieraus ergibt sich, dass ∥ U ∥ = 1 und allgemeiner

∥A U ∥ = ∥ A ∥ = ∥ U A ∥ für alle A  ∈  ℂ^{n × n}.

Normale Matrizen

Nach dem Spektralsatz (vgl. 8. 6) lässt sich eine hermitesche oder allgemeiner normale Matrix A unitär diagonalisieren: Es gibt ein S  ∈  U(n) mit A = S* diag(λ₁, …, λ_n) S, wobei λ₁, …, λ_n die in ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerte von A sind. Nach den vorangehenden Überlegungen ist also

∥ A ∥ = max_k |λ_k|

der betragsmäßig größte Eigenwert von A. Die euklidisch induzierte Matrixnorm heißt deswegen auch die Spektral-Norm auf dem ℂ^{n × n}.

Allgemeiner Fall

Ist A  ∈  ℂ^{n × n} beliebig, so liefert eine Singulärwertzerlegung Matrizen S, T  ∈  U(n) und σ₁, …, σ_n ≥ 0 mit A = S* diag(σ₁, …, σ_n)T (vgl. 8. 8). Damit gilt ∥ A ∥ = max_k σ_k. Die Spektral-Norm der Matrix A ist also stets der größte Singulärwert von A. Die Bezeichnung „Singulärwertnorm“ wäre demnach passender, ist aber nicht üblich.

Die Diagramme visualisieren die Spektralnorm für reelle Matrizen. Links sind die Bilder der Einheitsvektoren v unter A dargestellt, rechts die mit ∥Av∥ skalierten Einheitsvektoren v. Die Spektral-Norm ist nach Definition der Radius der kleinsten 2- bzw. 3-dimensionalen Sphäre, die die Menge E oder gleichwertig M umfasst.

Die Spaltensummen- und Zeilensummennormen

Schließlich betrachten wir noch die Summennorm ∥ · ∥₁ und die Maximumsnorm ∥ · ∥_∞ auf dem ℂⁿ (vgl. 6. 4). Für die zugehörigen induzierten Matrixnormen gilt

∥ A ∥₁ = max_{1 ≤ j ≤ n} ∑_{1 ≤ i ≤ n} |a_ij| = max_{1 ≤ j ≤ n} ∥ a_j ∥₁, (Spaltensummennorm)

∥ A ∥_∞ = max_{1 ≤ i ≤ n} ∑_{1 ≤ j ≤ n} |a_ij| = max_{1 ≤ i ≤ n} ∥ b_i ∥₁ (Zeilensummennorm)

für alle A  ∈  ℂ^{n × n}, wobei die a_j die Spalten und die b_i die Zeilen von A sind. Zur Berechnung von ∥ A ∥₁ summiert man für jede Spalte die Beträge der Einträge und wählt unter den n Summen den maximalen Wert. Analoges gilt für ∥ A ∥_∞ mit „Zeilen“ statt „Spalten“.

Die beiden Normen eignen sich zur Abschätzung der Spektralnorm ∥ · ∥₂, denn für alle A  ∈  ℂ^{n × n} gilt

∥ A ∥₂ ≤ $\sqrt{∥ A ∥_{1} ∥ A ∥_{\infty}}$ . (Schur-Abschätzung oder Schur-Test)

Für Diagonalmatrizen ist die Ungleichung eine Gleichung.