5. Matrixexponentiale

Für eine Matrix A  ∈  ℂ^{n × n} ist das Exponential exp(A) = e^A  ∈  ℂ^{n × n} definiert durch

exp(A) = ∑_k ≥ 0 ^{A^k}_k!,

wobei die Reihe als Limes der Partialsummen bezüglich einer beliebigen Matrixnorm ∥ · ∥ zu verstehen ist. Die Reihe konvergiert für alle A, und die Konvergenz ist beschrieben durch die Konvergenz der Einträge in ℂ:

exp(A)(i, j) = lim_n → ∞ ∑_k ≤ n ^{A^k(i, j)}_k! für alle 1 ≤ i, j ≤ n.

Für alle A, B  ∈  ℂ^{n × n} gilt:

(a)	exp(0) = E_n,

(b)	exp(A) ist invertierbar und es gilt exp(A)⁻¹ = exp(−A),

(c)	exp(A) = exp(A),

(d)	exp(A + B) = exp(A) exp(B), falls A und B kommutieren (d. h. A B = B A),

(e)	ist A^m = 0 für ein m, so ist exp(A) = ∑_k < m A^k/k! ein Matrixpolynom vom Grad ≤ m.

Wir bestimmen die Exponentiale exp(A) wieder schrittweise.

Diagonalmatrizen

Ist A = diag(d₁, …, d_n), so gilt A^k = diag(d^k₁, …, d^k_n) für alle k ≥ 0 und damit

exp(A) = diag(exp(d₁), …, exp(d_n)).

Speziell ist exp(λE_n) = diag(exp(λ), …, exp(λ)) = exp(λ) E_n.

Diagonalisierbare Matrizen

Gilt A = S⁻¹ diag(λ₁, …, λ_n) S mit S  ∈  GL(n, ℂ), so gilt

exp(A) = S⁻¹ diag(exp(λ₁), …, exp(λ_n)) S

nach den vorangehenden Überlegungen. Mit A ist also auch exp(A) diagonalisierbar.

Allgemeiner Fall: Bestimmung über eine Jordan-Normalform

Ist A nicht diagonalisierbar, so liefert eine Jordan-Normalform, dass

exp(A) = S⁻¹ $( \begin{matrix} exp (J (λ_{1})) \\ … \\ exp (J (λ_{m})) \end{matrix} )$ S

mit S  ∈  GL(n, ℂ) und Jordan-Blöcken J(λ₁), …, J(λ_m) (vgl. 8. 12). Damit ist die Berechnung von exp(A) auf die Berechnung des Exponentials von Jordan-Blöcken reduziert. Zur Berechnung eines k × k Jordan-Blocks J(λ) schreiben wir

J(λ) = λE_k + N mit N = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ … & … \\ 0 & 1 \\ 0 \end{matrix} )$ .

Es gilt (λE_k) N = N (λ E_k), sodass

exp(J(λ)) = exp(λ E_k) exp(N) = exp(λ) exp(N).

Wegen N^k = 0 ist exp(N) ein Polynom vom Grad kleiner als k. So ergibt sich zum Beispiel

exp(J₂(λ)) = exp $( \begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} )$ = exp(λ) exp $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ = exp(λ) $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ ,

exp(J₃(λ)) = exp $( \begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix} )$ = exp(λ) exp $( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )$ = exp(λ) ( N⁰ + N¹ + ^N²₂ ) = exp(λ) exp $( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 / 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$

Mit Hilfe der Jordan-Normalform lässt sich zudem zeigen, dass

det(exp(A)) = exp(spur(A)) für alle A  ∈  ℂ^{n × n}.

Da exp(x) > 0 für alle x  ∈  ℝ gilt, gibt es im Fall det(B) < 0 kein A  ∈  ℝ^{n × n} mit exp(A) = B. Man kann jedoch zeigen, dass exp : ℂ^{n × n} → GL(n, ℂ) surjektiv ist, sodass für alle B  ∈  GL(n, ℂ) ein (nicht eindeutiger) Matrixlogarithmus A  ∈  ℂ^{n × n} durch exp(A) = B erklärt werden kann.

Diagonalmatrizen

Ähnliche Matrizen

Diagonalisierbare Matrizen

Allgemeiner Fall: Bestimmung über eine Jordan-Normalform