Inhalt
Vorwort
0. Kapitel Mengentheoretisches Vorspiel
0.1 Mengen
0.2 Endliche Mengen
0.3 Die Mengenkomprehension
0.4 Algebraische Operationen mit Mengen
1. Kapitel Relationen und Abbildungen
1.1 Relationen
1.2 Äquivalenzrelationen
1.3 Ordnungen
1.4 Der Abbildungsbegriff
1.5 Konstruktion von Abbildungen
1.6 Notationen und Sprechweisen für Abbildungen
1.7 Umgang mit Funktionen
1.8 Operationen und Abgeschlossenheit
1.9 Abbildungseigenschaften
1.10 Mächtigkeitsvergleiche
1.11 Das Auswahlaxiom
1.12 Das Zornsche Lemma
2. Kapitel Algebraische Strukturen
2.1 Halbgruppen
2.2 Monoide
2.3 Gruppen
2.4 Rechenregeln in Gruppen
2.5 Kommutative Operationen
2.6 Untergruppen
2.7 Normalteiler und Faktorgruppen
2.8 Ringe
2.9 Körper
2.10 Angeordnete Körper
2.11 Polynomringe und Polynomfunktionen
2.12 Division und Nullstellen von Polynomen
3. Kapitel Vektorräume
3.1 Vektorräume
3.2 Unterräume
3.3 Produkte von Vektorräumen
3.4 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme
3.5 Lineare Unabhängigkeit
3.6 Basen und Koordinatenvektoren
3.7 Austauschlemma und Austauschsatz
3.8 Die Dimension
3.9 Die Existenz von Basen
3.10 Summen von Vektorräumen
3.11 Quotientenräume
3.12 Affine Unterräume und Koordinaten
4. Kapitel Lineare Abbildungen
4.1 Gruppenhomomorphismen
4.2 Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphismen
4.3 Kern und Bild
4.4 Der Homomorphiesatz
4.5 Lineare Abbildungen
4.6 Konstruktion linearer Abbildungen
4.7 Darstellung linearer Abbildungen
4.8 Fasern und lineare Gleichungssysteme
4.9 Isomorphie von Vektorräumen
4.10 Die Dimensionsformel
4.11 Lineare Abbildungen als Vektoren
4.12 Dualräume und duale Abbildungen
5. Kapitel Matrizen
5.1 Matrizen
5.2 Matrizen und lineare Abbildungen
5.3 Die Matrizenmultiplikation
5.4 Darstellende Matrizen für beliebige Basen
5.5 Invertierbare Matrizen
5.6 Die Elementarmatrizen
5.7 Die Permutationsmatrizen
5.8 Basiswechsel und Transformationsformel
5.9 Die Transposition
5.10 Der Rang
5.11 Die Zeilenstufenform
5.12 Eliminationsverfahren
6. Kapitel Euklidische und unitäre Vektorräume
6.1 Das kanonische Skalarprodukt im ℝn
6.2 Das kanonische Skalarprodukt im ℂn
6.3 Allgemeine Skalarprodukte
6.4 Normierte Vektorräume
6.5 Normen im Endlich-Dimensionalen
6.6 Orthonormalbasen
6.7 Das Orthonormalisierungsverfahren
6.8 Orthogonale Komplemente und Projektionen
6.9 Orthogonale Homomorphismen und Matrizen
6.10 Der Rieszsche Darstellungssatz
6.11 Der adjungierte Endomorphismus
6.12 Sesquilinearformen
7. Kapitel Determinanten
7.1 2 × 2-Determinanten
7.2 n × n-Determinanten
7.3 Das Vorzeichen einer Permutation
7.4 Die Leibniz-Formel
7.5 Multiplikation und Transposition
7.6 Der Entwicklungssatz von Laplace
7.7 Komplementärmatrizen und die Regel von Cramer
7.8 Die speziellen linearen Gruppen
7.9 Volumina von Parallelotopen
7.10 Das Kreuzprodukt
7.11 Positive Definitheit
7.12 Die Determinante eines Endomorphismus
8. Kapitel Eigenwerte
8.1 Eigenwerte und Eigenvektoren
8.2 Die Diagonalisierbarkeit
8.3 Das charakteristische Polynom
8.4 Das Diagonalisierbarkeitskriterium
8.5 Die Trigonalisierung
8.6 Der Spektralsatz
8.7 Hauptachsentransformation und Trägheitssatz
8.8 Die Singulärwertzerlegung
8.9 Lineare Abbildungen und Ellipsen
8.10 Minimalpolynome und der Satz von Cayley-Hamilton
8.11 Haupträume und Hauptraumzerlegung
8.12 Die Jordan-Normalform
Überblick und Zusammenfassung
1. Algebraische Grundstrukturen
2. Die Kongruenz modulo m
3. Matrizen
4. Matrizen und lineare Abbildungen
5. Umformungen mit Elementarmatrizen
6. Matrizengruppen
7. Matrixzerlegungen
8. Die Sesquilinearformen 〈 ·, A · 〉 und positive Definitheit
9. Quadriken in Normalform für n = 2
10. Normalformen
11. Blockstrukturen
12. Berechnung und Bestimmung
Ausblicke zu Eigenwerten
1. Eigenwerte ohne Determinanten
2. Eigenwerte ohne Fundamentalsatz
3. Gershgorin-Kreise und die Lage der Eigenwerte
4. Matrixnormen
5. Matrixexponentiale
6. Lineare Systeme von Differentialgleichungen
Anhänge
1. Junktoren
2. Quantoren
3. Zum Funktionsbegriff
4. Zahlen
5. Geometrische Grundlagen
6. Die Axiome der Mengenlehre
Literatur
Notationen
Index
Matrizensterne