Vorwort
Die Lineare Algebra gehört zum weltweit etablierten Kanon des mathematischen Grundwissens. In ihrem Zentrum stehen lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen, die mit Hilfe von Matrizen analysiert werden. Traditionell findet innerhalb der Linearen Algebra auch eine erste Begegnung mit den algebraischen Grundstrukturen Gruppen, Ringe, Körper statt. In vielen Anfängervorlesungen werden zudem die für alle mathematischen Gebiete unentbehrlichen Begriffe aus dem Umfeld von Mengen, Relationen und Abbildungen behandelt. Das Buch folgt dieser Vorgehensweise. Nach einer kurzen Diskussion von Grundlagen (Kapitel 0 und 1) und algebraischen Strukturen (Kapitel 2) wenden wir uns sechs Kernthemen der Linearen Algebra zu (Kapitel 3−8). Diese sind:
Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen,
Skalarprodukte, Determinanten, Eigenwerte.
Der Umfang des Textes entspricht, je nach Vorwissen, Tempo und Lernzielen, einer bis zwei vierstündigen Vorlesungen. Es wurde ein systematischer und strukturierter Aufbau angestrebt, der sich sowohl zum Lernen und Wiederholen als auch für die Lehre eignet. Der Unterschied zu einem klassischen vorlesungsbegleitenden Lehrbuch lässt sich grob gesprochen durch das Fehlen einiger (aber nicht aller) Beweise und einer ausführlicheren Kommentierung zugunsten einer kompakten und übersichtlichen Darstellung unter Einschluss vieler Beispiele und Gegenbeispiele beschreiben. Dass Beweise fehlen, liegt an der Konzeption des Buches und nicht etwa an der Meinung der Autoren, dass man auf diese verzichten könne. Kurze Argumente sind ausgeführt, wenn sie den Einsatz mathematischer Eigenschaften aufzeigen und helfen, den Umgang mit mathematischen Objekten zu erlernen. Zahlreiche Abbildungen möchten die behandelten Begriffe, Ergebnisse und Methoden für die Anschauung greifbar und für die Erinnerung zugänglich machen. Wir möchten anregen, sich der Mathematik auch durch die eigenständige Anfertigung von Skizzen − die ganz einfach ausfallen können − zu nähern. Großer Wert wird auf exakte Definitionen, auf die oft unentbehrlichen Voraussetzungen der Sätze und auf die sorgfältige Verwendung der mathematischen Sprache gelegt.
Das Buch kann verwendet werden
(1) | als Begleittext für Hörer der Linearen Algebra I und (in Teilen) II; ein ausführlicheres und beweisvollständiges Lehrbuch kann und will es dabei nicht ersetzen, |
(2) | zur Wiederholung und Prüfungsvorbereitung, |
(3) | zur Selbstkontrolle (Kann ich die wichtigsten Begriffe und Ergebnisse genau wiedergeben? Kann ich kurze Argumentationen eigenständig und sicher führen? Kann ich Beispiele und Gegenbeispiele angeben? Kann ich abstrakte Begriffe veranschaulichen?), |
(4) | zur Wissensauffrischung (insb. für Gymnasiallehrer, Physiker, Informatiker), |
(5) | als Anregung für Dozenten im Sinne eines ausgearbeiteten Ansatzes, Lernprozesse von Studienanfängern zu unterstützen. |
München, im März 2021
Oliver Deiser und Caroline Lasser