Affine Kreise durch drei Punkte

Gegeben seien zwei linear unabhängie Punkte v = (x₁, y₁) und w = (x₂, y₂) der Euklidischen Ebene. Wir berechnen den affinen Kreis K_r, v₀, der durch 0, v und w verläuft. (Der Nullpunkt vereinfacht zunächst die Berechnungen. Die Ergebnisse lassen sich am Ende leicht verallgemeinern.)

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

Der Mittelpunkt v₀ = (x₀, y₀) des gesuchten Kreises ist einer klassischen geometrischen Konstruktion folgend der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten G und H der Strecken 0v bzw. 0w. Denn die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Menge aller Punkte, die von den beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben. Der eindeutige Schittpunkt von G und H hat also von den drei beteiligten Endpunkten 0, v, w den gleichen Abstand

r = ∥ v − v₀ ∥ = ∥ w − v₀ ∥ = ∥ 0 − v₀ ∥ = ∥ v₀ ∥

Damit liegen v, w und 0 auf dem affinen Kreis K_r, v₀.

Die lineare Unabhängigkeit von v und w wird für die Existenz und Eindeutigkeit des Schnittpunkts benötigt. Wir nehmen v, w ≠ 0 an, da sonst G oder H gar nicht existieren. Sind nun v, w linear abhängig, aber verschieden, so gilt G ∩ H = ∅. In diesem Fall gibt es keinen Kreis durch 0, v, w (die drei Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden). Gilt v = w, so gilt G = H. Es existieren dann unendlich viele Kreise durch 0, v.

Wir können den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten G und H von v bzw. w mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems berechnen. Er ist der eindeutige Punkt (x, y) mit den Eigenschaften:

(I)	(x, y) − 1/2 v steht senkrecht auf v
(II)	(x, y) − 1/2 w steht senkrecht auf w

Formulieren wir die Orthogonalität mit Hilfe des Euklidischen Skalarprodukts, so erhalten wir:

(I)	〈 v, (x, y) − 1/2 v 〉 = 0
(II)	〈 w, (x, y) − 1/2 w 〉 = 0

Aus der Linearität des Skalarprodukts in der zweiten Komponente ergibt sich die äquivalente Form:

(I)	〈 v, (x, y) 〉 = 1/2 〈 v, v 〉
(II)	〈 w, (x, y) 〉 = 1/2 〈 w, w 〉

Der affine Kreis K_v₀, r durch die Punkte 0, v, w (wobei v und w nicht kollinear sind). Der Mittelpunkt v₀ des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten G und H auf v bzw. w. Der Radius r des Kreises ist der gemeinsame Euklidische Abstand von v₀ zu den drei Punkten 0, v, w.

Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem:

(I)	x₁ x + y₁ y = 1/2 ∥v∥²
(II)	x₂ x + y₂ y = 1/2 ∥w∥²

Mit der Matrix A = (v, w) und den Längen λ = ∥v∥, μ = ∥w∥ ergibt sich die kompakte Form

(#) A (x, y) = ¹₂ (λ², μ²)

Da v, w linear unabhängig sind, gilt det(A) ≠ 0. Der Schnittpunkt v₀ ist damit die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems (#). Mit der Invertierungsformel für Matrizen erhalten wir

v₀ = (x₀, y₀) = ¹₂ A⁻¹ (λ², μ²) = ¹_{2 det(A)} $( \begin{matrix} y_{2} & - y_{1} \\ - x_{2} & x_{1} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} λ^{2} \\ μ^{2} \end{matrix} )$

Der Radius r des Kreises ist nun gegeben durch

r = ∥ v₀ ∥ = ∥ v − v₀ ∥ = ∥ w − v₀ ∥

Um eine möglichst einfache Formel für den Radius zu erhalten, zeigen wir einen allgemeinen (durch das Problem motivierten) Satz:

Satz (Zeilenlängen-Formel)

Sei A = (v, w) = ((a, b), (c, d)) invertierbar, und seien λ = ∥v∥ und μ = ∥w∥ die Zeilenlängen von A. Dann gilt

∥ A⁻¹ (λ², μ²) ∥ = ^{λ μ ∥ v − w ∥}_|det(A)|

Beweis

Nach der Invertierungsformel gilt

A⁻¹ = ¹_det(A) A^# mit A^# = $( \begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix} )$

Mit λ² = a² + b² und μ² = c² + d² erhalten wir:

∥ A^# (λ², μ²) ∥²	= (d λ² − b μ²)² + (a μ² − c λ²)²
	= (c² + d²) λ⁴ − 2 (ac + bd) λ² μ² + (a² + b²) μ⁴
	= μ² λ⁴ − 2 〈 v, w 〉 λ² μ² + λ² μ⁴
	= λ² μ² (λ² − 2 〈 v, w 〉 + μ²) = λ² μ² ∥ v − w ∥²

Wurzelziehen liefert die Behauptung.

Die Anwendung des Satzes auf A = (v, w) liefert eine bestechend schöne Formel:

r = ∥ v₀ ∥ = ^{∥v∥ ∥w∥ ∥ v − w ∥}_2 |det(A)|

Durch eine Translation können wir nun den Kreis durch drei Punkte v₁, v₂, v₃ berechnen, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen: Wir berechnen zunächst den Kreis durch 0, v = v₂ − v₁ und w = v₃ − v₁ mit v, w linear unabhängig. Anschließend verschieben wir diesen Kreis um v₁ (der Radius bleibt gleich). Mit

∥ v − w ∥ = ∥ (v₂ − v₁) − (v₃ − v₁) ∥ = ∥ v₂ − v₃ ∥

ergibt sich zusammenfassend folgendes Ergebnis:

Satz (Kreis durch drei Punkte)

Seien v₁ = (x₁, y₁), v₂ = (x₂, y₂), v₃ = (x₃, y₃)  ∈  ℝ² drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Dann ist der eindeutige Kreis K_v₀, r durch diese Punkte gegeben durch

v₀ = ¹_{2 det(v₂ − v₁, v₃ − v₁)} $( \begin{matrix} y_{3} - y_{1} & y_{1} - y_{2} \\ x_{1} - x_{3} & x_{2} - x_{1} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} ∥ v_{2} - v_{1} ∥^{2} \\ ∥ v_{3} - v_{1} ∥^{2} \end{matrix} )$ + v₁

r = ^{∥ v₂ − v₁ ∥ ∥ v₃ − v₁ ∥ ∥ v₂ − v₃ ∥}_{2 |det(v₂ − v₁, v₃ − v₁)|}

Beispiel

Wir betrachten die drei Punkte

v₁ = (x₁, y₁) = (4, 8), v₂ = (x₂, y₂) = (7, 7), v₃ = (x₃, y₃) = (−2, 4)

Auswertung der Formeln des Satzes ergibt die Werte:

A = (v₂ − v₁, v₃ − v₁) = ((3, −1), (−6, −4)), det(A) = −18

∥ v₂ − v₁ ∥ = $\sqrt{10}$ , ∥ v₃ − v₁ ∥ = 2 $\sqrt{13}$ , ∥ v₂ − v₃ ∥ = 3 $\sqrt{10}$

v₀	= ¹_{− 36} $( \begin{matrix} - 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 10 \\ 52 \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix} )$
	= − ¹₃₆ $( \begin{matrix} 12 \\ 216 \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix} )$
	= $( \begin{matrix} - 1 / 3 \\ - 6 \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 11 / 3 \\ 2 \end{matrix} )$

r = $\frac{\sqrt{10} · 2 \sqrt{13} · 3 \sqrt{10}}{36}$ = $\frac{5 \sqrt{13}}{3}$

Der affine Kreis K_v₀, r durch die Punkte v₁, v₂, v₃. Es gilt

v₀ = (11/3, 2), r = (5/3) $\sqrt{13}$

Als Korollar erhalten wir eine klassische Formel für Dreiecke:

Umkreisradius eines Dreiecks

Sei ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c, dem Umkreisradius r und der Fläche ar(ABC). Dann gilt:

a b c = 4 r ar(ABC)(Umkreisradiusformel)

Denn mit v₁ = A, v₂ = B, v₃ = C gilt mit den Bezeichnungen des Satzes:

a = ∥ v₂ − v₃ ∥, b = ∥ v₃ − v₁ ∥ = , c = ∥ v₂ − v₁ ∥ = c

| det(v₂ − v₁, v₃ − v₁) | = 2 ar(ABC)(Dreieck = halbes Parallelogramm)

r = ^{∥ v₂ − v₁ ∥ ∥ v₃ − v₁ ∥ ∥ v₂ − v₃ ∥}_{2 |det(v₂ − v₁, v₃ − v₁)|} = ^{a b c}_{4 ar(ABC)}