Flächenberechnung
Lösen wir die algebraische Gleichung
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 (entsprechend λ2 x2 + λ1 y2 = λ1 λ2 mit λ1 = a2, λ2 = b2)
einer Ellipse E = Ea, b nach y auf, so sehen wir, dass wir die obere Hälfte von E als Graph der Funktion f : [ −a, a ] → ℝ mit
f (x) = b für alle x ∈ [ −a, a ]
darstellen können. Das Integral über diese Funktion wird berechnet wie das klassische Kreisintegral über
g(x) = r = für alle x ∈ [ −r, r ]
Das Integral über im Intervall [ − r, r ] hat den Wert r2 π/2. Für die Ellipse erhalten wir (mit r = a und dem Vorfaktor b) entsprechend b a π/2. Da unsere Ellipse wie der Kreis symmetrisch zur x-Achse ist, erhalten wir durch Verdopplung dieses Wertes ihre Fläche:
Satz (Fläche der Ellipse Ea, b)
Die Ellipse Ea, b hat die Fläche abπ.
Die Funktion f : [ −2, 2 ] → ℝ mit f (x) = stellt die obere Hälfte der Ellipse E2, 1 dar. Ihr Integral ist die Hälfte der Fläche von E2, 1.
Die Flächenformel steht in vollkommener Analogie zur Formel
r2π = r r π
für die Fläche des Kreises Kr = Er, r mit Radius r.
Verwendung des Cavalierischen Prinzips
Sehr einfach können wir die Ellipsenfläche auch mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips bestimmen: Wir setzen hierzu r = a und fassen die Ellipse
E = Ea, b = Er, b
als den in y-Richtung um den Faktor τ = b/r skalierten Kreis Kr auf. Dann ist die Länge jedes x-Schnitts von E das τ-fache der Länge des entsprechenden Schnitts von Kr. Nach dem Cavalierischen Prinzip ist die Fläche von E das τ-fache der Fläche von Kr, also gleich
τ r2 π = b r π = a b π