Die lineare und numerische Exzentrizität

 Eine achsenparallele Ellipse E = Ea, b ist genau dann kein Kreis, wenn a ≠ b. Sind die Halbachsen sehr unterschiedlich, so weicht E stark von einem Kreis ab. Zwei Größen, die sich als Maß für die Abweichung einer Ellipse von einem Kreis eignen, sind:

Definition (lineare und numerische Exzentrizität)

Sei E = Ea, b eine achsenparallele Ellipse. Gilt a ≥ b, so setzen wir

e  =  elin  =  a2−b2,  ε  =  εnum  =  e/a  =  1−(b/a)2

Im Fall b > a setzen wir analog

e  =  elin  =  b2−a2,  ε  =  εnum  =  e/b  =  1−(a/b)2

Die e und ε heißen die lineare bzw. numerische Exzentrizität von E.

 Solange keine Verwechslung mit der Eulerschen Zahl zu befürchten ist, bezeichnen wir die lineare Exzentrizität mit e. Ohne Fallunterscheidung gilt

e  =  elin  =  |a2−b2|,  ε  =  εnum  =  e/max(a, b)

Es gilt 0 ≤ e < max(a, b) und damit 0 ≤ ε < 1. Je näher die numerische Exzentrizität bei 1 liegt, desto größer ist die Abweichung der Ellipse von einem Kreis. Dagegen sind Ellipsen mit einer linearen oder numerischen Exzentrizität nahe bei 0 kreisähnlich und es gilt e = ε = 0 genau dann, wenn E ein Kreis ist. Die numerische Exzentrizität ist im Gegensatz zur linearen Version invariant unter Skalierung, d. h. die Ellipsen Ea, b und Eτa, τb haben für alle τ > 0 dieselbe numerische Exzentrizität: ε hängt nur vom Verhältnis von a und b ab.

ellipsen1-AbbIDellipses_numex_1

Die Funktion ε(·, 1) : [ 0, ∞ [ → ℝ mit ε(a, 1) = |a2−1|/max(a, 1) für a > 0. Sie gibt die numerische Exzentrizität von Ea, 1 in Abhängigkeit von a an.

 In unserer Ellipsen-Definition sind die Halbachsen größer als Null. Lässt man den degenerierten Fall zu, bei dem genau eine Halbachse gleich Null ist, so ergibt sich e = max(a, b) und ε = 1.

 Direkt aus der Definition folgt:

Satz (Eigenschaften der Exzentrizitäten)

Sei E = Ea, b mit a ≥ b. Weiter sei s = b/a. Dann gilt:

(a)

e2  =  a2 − b2  =  (a + b)(a − b)

(b)

e  =  a 1−s2  =  b s−2−1

(c)

ε  =  1−s2

(d)

ε2  +  s2  =  1

Analoge Formeln gelten im Fall b > a.