Hyperbeln in erster Hauptlage
Allgemeinere Hyperbeln entstehen analog zu den Ellipsen durch Skalierungen. Im Gegensatz zu „Ellipse“ gibt es kein eigenes Wort für eine entlang der Achsen skalierte Einheitshyperbel. Wir sprechen von Hyperbeln in erster Hauptlage.
Definition (Hyperbeln in erster Hauptlage)
Seien σ1, σ2 > 0. Dann definieren wir die Hyperbel H = Hσ1, σ2 mit den Halbachsen σ1, σ2 durch
Hσ1, σ2 = diag(σ1, σ2) [ H1 ]
Die Vektoren ± (σ1, 0) heißen die Scheitelpunkte, die Vektoren ± (0, σ2) die Nebenscheitelpunkte oder imaginären Scheitelpunkte von H. Weiter heißen
H+ = { (x, y) ∈ H | x > 0 }, H− = { (x, y) ∈ H | x < 0 }
der rechte bzw. linke Ast von H.
Eine Hyperbel der Form Hσ1, σ2 nennen wir eine Hyperbel in erster Hauptlage.
Anstelle von Scheitelpunkten sprechen wir auch kurz von Scheiteln oder wie bei Ellipsen auch von (ersten und zweiten) Halbachsenvektoren.
Die Scheitelpunkte einer Hyperbel in erster Hauptlage liegen stets auf der x-Achse. Die Halbachse σ1 ist der Abstand der Scheitelpunkte zum Nullpunkt. Die Nebenscheitelpunkte sind keine Elemente der Hyperbel.
Die Halbachsen σ1, σ2 unterliegen im Gegensatz zu den Ellipsen keinem Größenvergleich. Neben σ1, σ2 verwenden wir oft auch wieder a, b für die Halbachsen, wenn keine Verwechslungsgefahr mit den Einträgen a, b, c, d einer Matrix A besteht. Weiter schreiben wir oft auch wieder λ1, λ2 für die Quadrate der Halbachsen, sodass also λ1 = σ12, λ2 = σ22.
Wie für die Ellipsen erhalten wir:
Satz (algebraische Darstellung von Hyperbeln in erster Hauptlage)
Seien σ1, σ2 > 0. Dann wird die Hyperbel Hσ1, σ2 definiert durch die algebraische Gleichung
(x/σ1)2 − (y/σ2)2 = 1 oder äquivalent λ2 x2 − λ1 y2 = λ1 λ2
Beweis
Mit D = diag(σ1, σ2) und D−1 = diag(1/σ1, 1/σ2) gilt:
| diag(σ1, σ2)[ H1 ] | = { D (x, y) | (x, y) ∈ H1 } |
| = { (x, y) | D−1(x, y) ∈ H1 } | |
| = { (x, y) | (x/σ1, y/σ2) ∈ H1 } | |
| = { (x, y) | (x/σ1)2 − (y/σ2)2 = 1 } |
Die zweite Gleichung ergibt sich durch Multiplikation mit λ1 λ2.
Die Hyperbeln H2, 1, H1, 2 und H3, 1/2 in erster Hauptlage. Nach Definition gilt
H2, 1 = diag(2, 1)[ H1 ], H1, 2 = diag(1, 2) [ H1 ], H3, 1/2 = diag(3, 1/2) [ H1 ]
Die Hyperbeln werden definiert durch die algebraischen Gleichungen
x2 − 4 y2 = 4, 4 x2 − y2 = 4, 1/4 x2 − 9 y2 = 9/4