Exzentrizität und Brennpunkte

Definition (Exzentrizität und Brennpunkte)

Für eine Hyperbel H = H_{a, b} setzen wir:

e = e_lin = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ε = e_num = e/a = $\sqrt{1 + (b / a)^{2}}$

F₁ = (e, 0), F₂ = (−e, 0)

Die reellen Zahlen e und ε heißen die lineare bzw. numerische Exzentrizität von H. Die Punkte F_1,2 heißen die Brennpunkte oder Fokuspunkte von H.

Im Gegensatz den Ellipsen ist keine Fallunterscheidung a ≥ b und a < b notwendig. Die Brennpunkte liegen immer auf der x-Achse.

Für alle Hyperbeln gilt e_num > 1. Für die Einheitshyperbel H₁ gilt:

e_lin = e_num = $\sqrt{2}$

F₁ = ( $\sqrt{2}$ , 0), F₂ = (− $\sqrt{2}$ , 0)

Die rechten Fokuspunkte der Hyperbeln H_1, b mit b = 3, 2, 1, 1/2, 1/3 (blau, gelb, grün, rot, lila). Die numerischen Exzentrizitäten der Hyperbeln sind

$\sqrt{10}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ /2, $\sqrt{10}$ /3

Die rechten Fokuspunkte der Hyperbeln H_{a, 1} mit a = 1/3, 1/2, 1, 2, 3 (wieder von blau nach lila). Die numerischen Exzentrizitäten der Hyperbeln sind erneut

$\sqrt{10}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ /2, $\sqrt{10}$ /3

Die gleichfarbigen Hyperbeln der beiden letzten Diagramme sind ähnlich und genauer Streckungen voneinander. Denn es gilt

H_{λa, λb} = λ H_{a, b} für alle a, b > 0 und λ > 0,

sodass speziell H_{a, 1} = a H_{1, 1/a}. Allgemein halten wir fest:

Satz (Streckungssatz für Hyperbeln in erster Hauptlage)

Seien H_a, b, H_{a′, b′} Hyperbeln in erster Hauptlage. Dann sind äquivalent:

(a)	Es gibt ein λ > 0 mit H_a, b = λ H_{a′, b′}.

(b)	a/b = a′/b′

(c)	e_num(H_a, b) = e_num(H_a′, b′)

Gilt (a), so ist zudem λ = a/a′ = b/b′.

Beweis

Die Äquivalenz von (b) und (c) ist klar. Gilt (b), so sei λ = a/a′ = b/b′. Dann gilt H_a, b = H_{λa′, λb′} = λ H_{a′, b′}. Dies zeigt die Implikation von (b) nach (a). Gilt umgekehrt (a), so ist

(a, 0)  ∈  H_{a, b} = λ H(a′, b′), ( $\sqrt{2}$ a, b)  ∈  H_{a, b} = λ H(a′, b′)

Folglich ist a = λ a′ und b = λ b′. Damit gilt a/b = a′/b′ und λ = a/a′ = b/b′.

Die Funktion ε(1, ·) : [ 0, ∞ [ → ℝ mit ε(1, b) = $\sqrt{1 + b^{2}}$ für b > 0. Die Funktion gibt die numerische Exzentrizität von H_{1, b} in Abhängigkeit von b an. Die Winkelhalbierende ist eine Asymptote.

Die Funktion ε(·, 1) : [ 0, ∞ [ → ℝ mit ε(a, 1) = $\sqrt{a^{2} + 1}$ /a für a > 0. Sie gibt die numerische Exzentrizität von H_{a, 1} in Abhängigkeit von a an.

Die Fokuseigenschaft gilt in der folgenden Form:

Satz (Fokuseigenschaft für Hyperbeln)

Sei H = H_{a, b} eine Hyperbel in erster Hauptlage. Dann liegt ein Punkt P = (x, y) der Ebene genau dann auf H, wenn der Betrag der Differenz der Abstände r₁ und r₂ von P zu den Brennpunkten F₁ und F₂ von H gleich 2a ist, d. h. wenn

|r₁ − r₂| = | ∥ P − F₁∥ − ∥ P − F₂ ∥ | = 2a

Der Satz kann wie die Fokuseigenschaft für Ellipsen bewiesen werden.

Zur Fokuseigenschaft: Die Längendifferenzen der Strecken von den Brennpunkten F₁ bzw. F₂ zu einem Punkt der Hyperbel H_a, b sind konstant gleich 2a.

Wie für Ellipsen berechnen wir wieder den Punkt (e, y), y > 0, auf der Hyperbel H_a, b oberhalb des Brennpunkts F₁. Mit F₁ = (e, 0) gilt für diesen Punkt

y = b/a $\sqrt{e^{2} - a^{2}}$ = b/a $\sqrt{(a^{2} + b^{2}) - a^{2}}$ = b²/a

Wir erhalten also den gleichen Wert wie bei der Ellipse E_a, b.

Definition (Halbachsenparameter)

Der Halbachsenparameter einer Hyperbel H_a, b ist definiert durch ρ = b²/a.

Der Halbachsenparameter ρ = b²/a für eine Hyperbel und eine Ellipse, die jeweils die Halbachsen a ≤ b besitzen.

Wir definieren auch wieder:

Definition (Fokusabstand für Hyperbeln)

Der Fokusabstand c einer Hyperbel H = H_a, b ist definiert durch c = e − a.

Wie für die Ellipsen gilt:

Satz (Fokusabstandsformel)

Für den Fokusabstand c einer Hyperbel H = H_a, b gilt:

c = ^ρ_1 + ε, ε = ^ρ_c − 1

Insbesondere gilt c < ρ/2.

Beweis

Es gilt:

c = e − a = ^{(e − a)(e + a)}_e + a = ^{e² − a²}_a(ε + 1) = ^b²_a(1 + ε) = ^ρ_1 + ε

Der Rest ist klar.

e = a + c, ρ = b²/a, c = ρ/(1 + ε), r − ρ = 2a, r² = ρ² + 4e², s² = ρ² + c²