Ellipsen in Polarkoordinaten

Sei E_a, b eine achsenparallele Ellipse in erster Hauptlage, d. h. a ≥ b. Wir können die Ellipse anstelle der bisher verwendeten kartesischen Koordinaten x, y in den Polarkoordinaten r, φ beschreiben. Zwischen den beiden Systemen gelten die Umrechnungsformeln:

x = r cos φ	y = r sin φ
r = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$	φ = arg(x, y)  ∈  ] − π, π ]

Der Punkt P auf der Ellipse E_{5/4, 1} mit den Polarkoordinaten r, φ

Zur Darstellung der Ellipse in Polarkoordinaten formen wir die Gleichung

b² x² + a² y² = a² b²(E_a, b in kartesischen Koordinaten)

äquivalent um, indem wir x , y durch r, φ ersetzen und eine möglichst einfache Gleichung in r und cos φ anstreben:

b² r² cos² φ + a² r² sin² φ = a² b²

b² r² cos² φ + a² r² (1 − cos² φ) = a² b²

r² (a² − e² cos² φ) = a² b² (mit e² = a² − b²)

r² (1 − ε² cos² φ) = b² (mit ε = e/a < 1)

r = $\frac{b}{\sqrt{1 - ε^{2} {cos}^{2} φ}}$ (E_a, b in Polarkoordinaten)

Im letzten Schritt verwenden wir r > 0, um das negative Vorzeichen vor der Wurzel auszuschließen. Für die Winkel φ = 0, π erhalten wir (wie es sein muss) r = a; im Nenner steht hier die Wurzel aus 1 − ε² = b²/a². Für die Winkel φ = ± π/2 ergibt sich r = b mit einem verschwindenden Kosinus-Term.

Durch die einfache Gleichung können wir r als Funktion in φ auffassen. Das folgende Diagramm zeigt den Verlauf der Radius-Funktion für einige Ellipsen.

Der Ellipsenradius als Funktion des Arguments φ für die großen Halbachsen a = 1, 11/10, 2, 3 und die kleine Halbachse b = 1:

r(φ) = $\frac{b}{\sqrt{1 - ε^{2} {cos}^{2} φ}}$ für alle φ  ∈  ] − 2π, 2π ]

Der Fall a = b = 1 liegt ein Kreis mit Radius 1 und ε = 0 vor. Für a > b ist 0 < ε < 1. Die Maxima und Minima entsprechen den Halbachsen und werden abwechselnd an den ganzzahligen Vielfachen von π/2 erreicht.

Varianten

(1)	Ist b > a, e = $\sqrt{b^{2} - a^{2}}$ und ε = e/b, so erhalten wir analog r = $\frac{a}{\sqrt{1 - ε^{2} {sin}^{2} φ}}$ (E_a, b in Polarkoordinaten)

(2)

Eine rotierte Ellipse E_{a, b, φ₀} = rot_φ [ E_{a, b} ] mit a > b wird durch

r = $\frac{b}{\sqrt{1 - ε^{2} {cos}^{2} (φ - φ_{0})}}$ (E_a, b, φ in Polarkoordinaten)

beschrieben. Die Formel ist wesentlich einfacher als die kartesische Version. Den Fall (1) erhalten wir mit dem Winkel φ₀ = π/2 und der Formel cos(φ − π/2) = sin φ (und vertauschten Rollen von a und b).