Hyperbeln in Polarkoordinaten
Wir berechnen nun die Darstellung einer Hyperbel Ha, b in Polarkoordinaten in Analogie zu den Ellipsen. Im Unterschied zu den Ellipsen müssen wir den Winkel φ auf bestimmte offene Intervalle begrenzen.
Der Punkt P auf der Hyperbel H1, 1 mit den Polarkoordinaten r, φ. Der Winkel φ verläuft im Intervall ] −δ, δ [ (rechter Ast) und im Intervall ] π − δ, π + δ [ (linker Ast) mit δ = π/4.
Bestimmung der Winkelintervalle
Die Asymptoten von Ha, b haben die Steigungen ± b/a, sodass wir genau für Winkel φ mit
| (+) | φ ∈ ] − δ, δ [ bzw. φ ∈ ] π − δ, π + δ [ , wobei |
| δ = arctan(b/a) = arccos(1/ε) |
Punkte auf dem rechten bzw. linken Ast der Hyperbel erhalten. Für die zwei Darstellungen des Winkels δ verwenden wir die trigonometrische Formel
cos2(arctan(x)) = 11 + x2 für alle x ∈ ℝ
Sie ergibt sich aus sin2(y)/cos2(y) = tan2(y) = x2 für y = arctan(x) und dem Satz des Pythagoras. Damit gilt
cos2(arctan(b/a)) = 11 + (b/a)2 = 1ε2,
sodass
arctan(b/a) = arccos(1/ε)
Mit der Winkelvoraussetzung (+) erhalten wir aus der Gleichung
b2 x2 − a2 y2 = a2 b2(Ha, b in kartesischen Koordinaten)
mit x = r cos φ, y = r sin φ die äquivalenten Gleichungen:
b2 r2 cos2 φ − a2 r2 sin2 φ = a2 b2
b2 r2 cos2 φ − a2 r2 (1 − cos2 φ) = a2 b2
r2 (e2 cos2 φ − a2) = a2 b2 (mit e2 = a2 + b2)
r2 (ε2 cos2 φ − 1) = b2 (mit ε = e/a > 1)
r = (Ha, b in Polarkoordinaten)
Unsere Voraussetzung (+) an φ verwenden wir nur im letzten Schritt. Sie ist äquivalent zu ε2 cos2 φ − 1 > 0. An den Intervallgrenzen gilt cos2 φ = 1/ε2, im Inneren der Intervalle gilt cos2 φ ∈ ] 1/ε2, 1 ].
Das folgende Diagramm zeigt wieder den Verlauf von r in Abhängigkeit des Winkels φ (im hier geeigneten Gesamtbereich [ −π/2, 3π/2 ]). Die beiden Komponenten entsprechen den beiden Ästen der Hyperbel. Die Scheitelpunkte werden durch φ = 0 und φ = π markiert.
Der Hyperbelradius r(φ) für a = 1/2, 1, 2, 3 und b = 1 mit
r(φ) = für alle φ ∈ ] − δ, δ [ ∪ ] π − δ, π + δ [
mit dem Asymptotenwinkel δ = arctan(b/a) = arccos(1/ε). Die Intervalle gültiger Winkel sind gestrichelt in den zugehörigen Farben eingezeichnet.
Varianten
Eine rotierte Hyperbel Ha, b, φ0 = rotφ [ Ha, b ] wird durch
r = (Ea, b, φ in Polarkoordinaten)
beschrieben. Die Intervalle gültiger Winkel sind um φ0 verschoben.