Ellipsenflächen

Wir betrachten eine achsenparallele Ellipse E_a, b mit den Halbachsen a, b > 0.

Flächenberechnung durch Skalierung eines Kreises

Wir nehmen zunächst a ≥ b an. Dann wird die Ellipse E_a, b durch den Kreis K_a mit Radius a umschlossen und geht aus ihm durch Skalierung um den Faktor b/a ≤ 1 entlang der y-Achse hervor. Wissen wir, dass der Kreis K_a die Fläche a² π besitzt, so ergibt sich b/a a² π = a b π für die Fläche der Ellipse E_a, b. Analoges gilt im Fall a < b, wobei nun b/a > 1 (alternativ kann die Ellipse um π/2 rotiert werden, um die erste Hauptlage zu erreichen).

Wird der Kreisinhalt nicht als bekannt vorausgesetzt, so können wir die Ellipsenfläche mit Hilfe von Integration bestimmen. Das Integral ist eine Variante des klassischen Kreisintegrals für den Fall a = b. Wir führen die Berechnung, die zum Grundbestand der Analysis gehört, durch − ein „Buch der Ellipsen“ wäre ohne sie unvollständig. Die Ellipse E_a, b wird definiert durch

b² x² + a² y² = a² b²

Auflösen nach y ergibt y = ± b/a $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ . Damit lässt sich die obere Hälfte (d. h. y ≥ 0) der Ellipse E_a, b durch die Funktion f : [ −a, a ] → ℝ darstellen mit

f (x) = b/a $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ für alle x  ∈  [ −a, a ]

Die Funktionen h, f : [ −a, a ] → ℝ mit

h(x) = $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ , f (x) = b/a h(x) für alle x  ∈  [ −a, a ]

stellen die obere Hälfte des Kreises K_a bzw. der Ellipse E_a, b dar. Das Integral zur Berechnung der Fläche lösen wir mit Hilfe der Substitution „x = a sin φ“.

Der Flächeninhalt von E_a, b ist das Doppelte des Integrals von f. Das Integral lässt sich mit Hilfe der Integrationsregeln lösen. Wir verwenden (wie beim klassischen Kreisintegral mit a = b = r) die Substitution

x = a sin φ, dx = a cos φ dφ mit φ  ∈  [ −π/2, π/2 ]

φ = arcsin(x/a) mit x  ∈  [ −a, a ]

Geometrisch interpretiert ist φ der Winkel, den ein Punkt auf der oberen Hälfte des Kreises K_a mit der positiven y-Achse einschließt. Im Intervall [ −π/2, π/2 ] ist der Kosinus positiv, sodass

$\sqrt{1 - {sin}^{2} φ}$ = $\sqrt{{cos}^{2} φ}$ = |cos φ | = cos φ für alle φ  ∈  [ − π/2, π/2 ]

Nach diesen Vorbereitungen können wir das Integral berechnen:

Berechnung des Kreis-Integrals

Für das unbestimmte Integral gilt:

2 ∫ f (x) dx	= 2 b/a ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx (x = a sin φ, dx = a cos φ dφ)
	= 2 b/a ∫ $\sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} φ}$ a cos φ dφ (a ≥ 0)
	= 2 a b ∫ $\sqrt{1 - {sin}^{2} φ}$ cos φ dφ
	= 2 a b ∫ cos² φ dφ
	= a b (∫cos² φ dφ + ∫cos φ cos φ dφ)(partielle Integration)
	= a b (∫ cos² φ dφ + sin φ cos φ + ∫sin² φ dφ)
	= a b (sin φ cos φ + ∫1 dφ)
	= a b (cos φ sin φ + φ)(Rücksubstitution)
	= a b (cos(arcsin(^x_a)) ^x_a + arcsin(^x_a))
	= a b ( $\sqrt{1 - x^{2} / a^{2}}$ ^x_a + arcsin(^x_a))
	= ^b_a x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a b arcsin(^x_a)

Die Auswertung des unbestimmten Integrals an den Grenzen − a und a liefert

2 ∫^a_−a f (x) dx = a b (arcsin(1) − arcsin(−1)) = a b (π/2 − (− π/2)) = a b π

Dies zeigt:

Satz (Flächeninhalt einer Ellipse)

Eine Ellipse E_a, b hat den Flächeninhalt a b π. Speziell hat ein Kreis K_r den Flächeninhalt r² π. Allgemeiner hat der durch [ x₀, x₁ ] ⊆ [ −a, a ] definierte senkrechte Ellipsenstreifen den Flächeninhalt F(x₁) − F(x₀), wobei

F(x) = ^b_a x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a b arcsin(^x_a) für alle x  ∈  [ −a, a ]

Fläche des durch [ 0, x₁ ] definierten Ellipsenstreifens. Es gilt φ = arcsin(x₁/a).

Für spätere Integrale halten wir fest:

Stammfunktion für das Kreisintegral

Für alle a > 0 gilt (mit arcsin(t) = arctan(t/ $\sqrt{1 - t^{2}}$ )):

2 ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a² arcsin(^x_a)
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a² arctan( $\frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ )

Wir diskutieren noch eine Variante, die ohne Substitution auskommt und lediglich partielle Integration und die Ableitung des Arkussinus verwendet. Ausganspunkt ist die Beobachtung, dass der erste Summand auf der rechten Seite in

2 ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx = x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a² arcsin(^x_a)

ein partielle Integration durch „Einschieben der 1“ suggeriert:

∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx = ∫ 1 · $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx

Durch ein „Einschieben der 0“ in der Form „a² − a² = 0“ können wir das Integral mit einem anderen Vorzeichen reproduzieren und so den Faktor 2 auf der linken seite erreichen:

Berechnung des Kreis-Integrals (Variante ohne Substitution)

Sei a > 0. Dann gilt:

∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx	= ∫ 1 · $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx = ∫ (^d_dx x) $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ − ∫ $\frac{- x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ dx (part. Int.)
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ − ∫ $\frac{a^{2} - x^{2} - a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ dx (a² − a² = 0)
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ − ∫ $\frac{a^{2} - x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ dx + a² ∫ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ dx
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ − ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx + a² ∫ $\frac{1 / a}{\sqrt{1 - (x / a)^{2}}}$ dx
	= x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ − ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx + a² arcsin(x/a)

Durch Addition des Integrals über $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ auf beiden Seiten erhalten wir erneut:

2 ∫ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ dx = x $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ + a² arcsin(^x_a)

Die Berechnung der Stammfunktion ist einfacher, aber algebraisch trickreich und nicht geometrisch motiviert wie Sustitutionen der Form „x = a sin φ“ oder „x = a cos φ“, bei denen wir von x-Werten zu Winkeln übergehen.