Die Krümmung einer Ellipse
Wir betrachten die Ellipse Ea, b und die Parametrisierung f : [ 0, 2π ] → ℝ2 mit
f (t) = (a cos t, b sin t)
f ′(t) = (− a sin t, b cos t)
f ″(t) = (− a cos t, − b sin t) = − f (t)
Sei nun t ∈ [0, 2π ]. Dann gilt:
c = ∥ f ′(t) ∥ =
det(f ′(t), f ″(t)) = a b sin2 t + a b cos2 t = a b
kf(t) = a bc3 (Krümmung von Ea, b an der Stelle (a cos t, b sin t))
Zur Berechnung des Krümmungskreismittelpunkts verwenden wir
| c2 | = a2 sin2 t + b2 cos2 |
| = a2 sin2 t + a2 cos2 t − a2 cos2 t + b2 cos2 t | |
| = a2 + (b2 − a2) cos2 t | |
| c2 | = b2 + (a2 − b2) sin2 t(analog) |
Damit erhalten wir:
| Mf(t) | = f (t) + ∥ f ′(t) ∥2det(f ′(t), f ″(t)) (−f2′(t), f1′(t)) |
| = 1a b ( a b f (t) + c2 (−f2′(t), f1′(t) ) | |
| = 1a b ( a2 b cos(t) − c2 b cos(t), a b2 sin(t) − c2 a sin(t) ) | |
| = 1a b ( b cos(t) (a2 − c2), a sin(t) (b2 − c2)) | |
| = 1a b ( b (a2 − b2) cos3(t), a (b2 − a2) sin3(t) ) | |
| = ( (a2 − b2) cos3(t)a, (b2 − a2) sin3(t)b ) |
Die Evolute einer Ellipse wird also durch Kosinus- und Sinus-Terme in der dritten Potenz definiert.
Einige Krümmungskreise für die Ellipse Ea, b mit a = 2 und b = 1. Die Punkte sind durch die Parameterisierung f (t) = (a cos t, b sin t) und die Zeiten tk = k π/2 für k = 0, …, 8 gegeben. Die Mittelpunkte der Krümmungskreise sind gleichfarbig gezeichnet.
Die Evolute g : [ 0, 2π ] → ℝ2 (grau) der Ellipse E2, 1 mit
g(t) = (3/2 cos(t)3, − 3 sin(t)3)
Analog für die Ellipse Ea, b mit a = 1,2 und b = 1
Analog für Ea, b mit a = 1,05 und b = 1