Der Rotationssatz

Wir formulieren noch einmal die Lösungsstrategie, die wir in diesem Kapitel verfolgen:

Heuristik

Wenn unsere Anschauung, dass das Bild A[ K ] des Kreises K für jede invertierbare Matrix A eine zentrische Ellipse ist, korrekt ist, so gibt es einen Winkel φ, sodass die um φ gedrehte Ellipse A[ K ] achsenparallel ist. Damit ist zu vermuten, dass sich jede Matrix A in eine Matrix RA mit orthogonalen Zeilen umformen lässt, durch Anwendung einer Rotationsmatrix R. Der Drehwinkel der Matrix R ist nicht eindeutig bestimmt, da mit φ auch die Drehwinkel φ ± π/2 und φ + π die Ellipse an den Achsen ausrichten.

Der folgende Satz zeigt, dass die „orthogonale Umformung“ tatsächlich möglich ist. Alles Weitere wird sich leicht ergeben.

Satz (Rotationssatz)

Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar. Dann gibt es eine Rotationsmatrix R derart, dass RA orthogonale Zeilen besitzt. Genauer gilt: Ist

q = (q₁, q₂) = (^{a² + b² − c² − d²}₂, ac + bd) und f (φ) = (cos φ, sin φ),

so ist R = rot_−φ genau dann eine derartige Rotationsmatrix, wenn die Vektoren q und f (2φ) kollinear sind. Es gilt die Fallunterscheidung:

(a)	Gilt q = 0, so ist A[ K ] ein Kreis und jede Rotationsmatrix R ist wie gewünscht.

(b)	Ist q ≠ 0, so gibt es genau vier derartige Rotationsmatrizen, deren Winkel sich um Vielfache von π/2 unterscheiden.

Analog hat A rot_φ genau dann orthogonale Spalten, wenn q und f (2φ) kollinear sind, wobei nun in der Definition von q die Parameter b und c vertauscht werden.

Bemerkung

Die erste Komponente von q ist bis auf einen Faktor 1/2 die Differenz der Quadrate der Längen der Zeilenvektoren von A. Die zweite Komponente ist das Skalarprodukt der Zeilenvektoren. Der Leser vergleiche auch die Koeffizienten in der algebraischen Gleichung

(#) (c² + d²)x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²)y² = det(A)²

Beweis

Es gilt q = 0 genau dann, wenn A gleichlange orthogonale Zeilen besitzt. Nach dem Ellipsen-Satz für für orthogonale Zeilen ist dann A[ K ] ein Kreis mit Radius σ₁ = σ₂ = ∥ (a, b) ∥, und R = rot_−φ ist für alle φ wie gewünscht. Wir nehmen also q ≠ 0 an.

Sei φ  ∈  ℝ. Dann gilt rot_−φ = ((cos φ, sin φ), (− sin φ, cos φ)) und

rot_−φ A = $( \begin{matrix} a cos φ + c sin φ & b cos φ + d sin φ \\ c cos φ - a sin φ & d cos φ - b sin φ \end{matrix} )$

Sind v und w die Zeilen von rot_−φ A, so gilt unter Verwendung der Verdopplungsformeln cos² t − sin² t = cos(2t), 2 cos t sin t = sin(2t):

〈 v, w 〉	= (ac + bd) (cos²φ − sin²φ) − (a² + b² − c² − d²) cos φ sin φ
	= (ac + bd) cos(2φ) − (a² + b² − c² − d²)/2 sin(2φ)
	= 〈 q, (− sin(2φ), cos(2φ) 〉
	= 〈 q, rot_π/2f (2φ) 〉

Damit ist 〈 v, w 〉 genau dann gleich 0, wenn q und rot_π/2f (2φ) orthogonal, d. h. q und f (2φ) kollinear sind. Dies ist für genau vier Winkel φ in [ 0, 2π [ (oder ] −π, π ]) der Fall, die sich um Vielfache von π/2 unterscheiden. Die zweite Aussage folgt mit

(A rot_φ)^t = rot_−φ A^t

aus der ersten.

Die klassischen Verdopplungsformeln für den Kosinus und Sinus spielen bei dieser Argumentation eine Schlüsselrolle. Sie ermöglichen eine überraschend einfache geometrische Interpretation des Skalarprodukts der Zeilen von rot_φ A.

Als Geschenk erhalten wir:

Korollar (Matrix-Ellipsen)

Sei A invertierbar. Dann ist A[ K ] eine Ellipse.

Beweis

Sei φ derart, dass B = rot_−φA orthogonale Zeilen besitzt. Dann ist E_B = B[ K ] eine achsenparallele Ellipse. Es gilt A = rot_φ B und folglich

A[ K ] = rot_φ B [ K ] = rot_φ [ E_B ]

Damit ist A[ K ] die um φ gedrehte Ellipse E_B.

Wir beschreiben nun die Ellipse A [ K ] einer Matrix A genauer.