Die Parameter einer Matrix-Ellipse

Sei A invertierbar, und sei q ≠ 0 wie im Rotationssatz, d. h.

q = (q₁, q₂) = (^{a² + b² − c² − d²}₂, ac + bd) ≠ 0

Wir setzen

φ = arg(q)/2  ∈  ] −π/2, π/2 ] mit arg(q)  ∈  ] −π, π ]

Dann ist φ wie im Rotationssatz und es gilt:

(+) q = λ (cos(2φ), sin(2φ)), wobei λ = ∥ q ∥ > 0

Weiter gilt sgn⁺(φ) = sgn⁺(q₂) (im Fall q₁ < 0, q₂ = 0 ist φ = π/2, sodass die zweiwertige Vorzeichenfunktion hier nicht geeignet ist). Wir setzen

B = rot_−φ A = $( \begin{matrix} a cos φ + c sin φ & b cos φ + d sin φ \\ c cos φ - a sin φ & d cos φ - b sin φ \end{matrix} )$

Dann hat B orthogonale Zeilen und E_B = B[ K ] ist die durch

σ₂²x² + σ₁²y² = σ₁²σ₂² (= det(B)² = det(A)²)

definierte achsenparallele Ellipse E_{σ₁, σ₂} mit

σ₁² = b₁₁² + b₁₂², σ₂² = b₂₁² + b₂₂²

Es gilt E_A = E_{σ₁, σ₂, φ} mit Halbachsenvektoren

h₁ = σ₁ (cos φ, sin φ) und h₂ = σ₂ (− sin φ, cos φ)

Elimination der trigonometrischen Funktionen

Sei θ = sgn⁺(q₂) = sgn⁺(φ) = sgn⁺(sin φ). Weiter seien

s⁺ = $\sqrt{λ + q_{1}}$ , s⁻ = $\sqrt{λ - q_{1}}$ (sodass (s⁺)² + (s⁻)² = 2λ)

Die Winkelhalbierungsformel angewendet auf q = (q₁, q₂) liefert:

h₁ = $\frac{σ_{1}}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} s^{+} \\ θ s^{-} \end{matrix} )$ = $\frac{σ_{1}}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} \sqrt{λ + q_{1}} \\ θ \sqrt{λ - q_{1}} \end{matrix} )$

h₂ = $\frac{σ_{2}}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} - θ s^{-} \\ s^{+} \end{matrix} )$ = $\frac{σ_{2}}{\sqrt{2 λ}}$ $( \begin{matrix} - θ \sqrt{λ - q_{1}} \\ \sqrt{λ + q_{1}} \end{matrix} )$

Drehwinkel

Es gilt

θ s⁻ s⁺ = θ $\sqrt{λ^{2} - q_{1}^{2}}$ = θ $\sqrt{q_{2}^{2}}$ = θ |q₂| = q₂

Im Fall φ ≠ π/2 (d. h. s⁺ = $\sqrt{λ + q_{1}}$ > 0) erhalten wir also

φ = arg(h₁) = arctan(^θ s⁻_s⁺) = arctan(^{θ s⁻ s⁺}_s⁺²) = arctan(^q₂_λ + q₁)

Geometrisch: Der Vektor q* = q + (λ, 0) ist eine Diagonale des Parallelogramms 0, q, q*, (λ, 0), sodass arg(q*) = arg(q)/2 = φ. Aus q* = (λ + q₁, q₂) ergibt sich die Formel. Im Fall φ = π/2 entsteht kein Parallelogramm.

Halbachsenlängen

Wir setzen:

r = ^{a² + b² + c² + d²}₂

Mit 2 cos² φ = 1 + cos(2φ), 2 sin² φ = 1 − cos(2φ) erhalten wir

σ₁²	= b₁₁² + b₁₂²
	= (a² + b²) cos² φ + (c² + d²) sin² φ + 2 (ac + bd) cos φ sin φ
	= (a² + b² + c² + d²)/2 + (a² + b² − c² − d²)/2 cos(2φ) + (ac + bd) sin(2φ)
	= r + 〈 q, (cos(2φ), sin(2φ)) 〉
	= r + λ und analog
σ₂²	= b₂₁² + b₂₂² = r − λ

Damit gilt

σ₁ = $\sqrt{r + λ}$ , σ₂ = $\sqrt{r - λ}$ , σ₁ ≥ σ₂

Durch unsere Wahl von φ wird sichergestellt, dass eine der beiden größeren Halbachse auf die x-Achse gedreht wird. Im Sonderfall φ = π/2 ist die Ellpse E_A = A [ K ] bereits achsenparallel, aber die kleineren Halbachsen von E_A liegen auf der x-Achse, was wir durch eine Drehung um π/2 korrigieren.

Exzentrizität

Es gilt

σ₁² − σ₂² = (r + λ) − (r − λ) = 2λ,

sodass sich die Exzentrizitäten von E_A und E_B berechnen zu

e = $\sqrt{2 λ}$ , ε = e/σ₁ = $\sqrt{2 λ / (r + λ)}$

Wir fassen unsere Formeln und Ergebnisse zusammen.

Definition (Ellipsen-Parameter einer Matrix)

Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar. Dann definieren wir:

(1)	q-Vektor und Länge λ q = (q₁, q₂) = (^{a² + b² − c² − d²}₂, ac + bd), λ = ∥ q ∥

(2)	Drehwinkel φ Wir setzen φ = 0, falls q = 0. Andernfalls sei φ = „das eindeutige φ  ∈  ] −π/2, π/2 ] mit (cos(2φ), sin(2φ)) = q̂“, wobei q̂ = q/∥ q ∥. Äquivalent: φ = arg(q)/2 mit arg(q)  ∈  ] −π, π ]

(3)	Konstante r r = ^{a² + b² + c² + d²}₂

(4)	Halbachsenlängen λ₁ = r + λ, λ₂ = r − λ, σ₁ = $\sqrt{λ_{1}}$ , σ₂ = $\sqrt{λ_{2}}$

(5)	Lineare Exzentrizität e = $\sqrt{2 λ}$ = $\sqrt{λ_{1} - λ_{2}}$

(6)

Halbachsenvektoren

Ist q = 0, so setzen wir

h₁ = σ₁ e₁ = $\sqrt{r}$  e₁, h₂ = σ₂ e₂ = $\sqrt{r}$ e₂

Andernfalls seien

h₁ = ^σ₁_e $( \begin{matrix} \sqrt{λ + q_{1}} \\ θ \sqrt{λ - q_{1}} \end{matrix} )$

h₂ = ^σ₂_e $( \begin{matrix} - θ \sqrt{λ - q_{1}} \\ \sqrt{λ + q_{1}} \end{matrix} )$ mit θ = sgn⁺(q₂)

Genauer schreiben wir q^A, λ^A, φ^A oder q(A), λ(A), φ(A) usw., um die Abhängigkeit von A deutlich zu machen.

Wir haben gezeigt:

Satz (Beschreibung der Matrix-Ellipsen)

Sei A invertierbar. Dann ist E = A[ K ] die Ellipse E_{σ₁, σ₂, φ}. Es gilt σ₁ ≥ σ₂. Die Konstante e ist die lineare Exzentrizität und die Vektoren h₁ und h₂ sind ein großer bzw. kleiner Halbachsenvektor von E. Die Halbachse h₁ liegt im ersten oder vierten Quadranten. Ist q ≠ 0, so halbiert h₁ das Argument des Vektors q bzgl. ] −π, π ]. Ist φ ≠ π/2 (d. h. λ + q₁ > 0), so gilt

φ = arctan( $\frac{θ \sqrt{λ - q_{1}}}{\sqrt{λ + q_{1}}}$ ) = arctan(^q₂_λ + q₁)

Weiter gilt:

(1)	Kreisfall E ist genau dann ein Kreis (d. h. σ₁ = σ₂), wenn q = 0.

(2)	Achsenparalleler Fall E ist genau dann achsenparallel, wenn A orthogonale Zeilen besitzt (q₂ = 0). In diesem Fall gilt φ = 0, falls q₁ ≥ 0, und φ = π/2, falls q₁ < 0.

(3)	Größe des Drehwinkels und Zeilenlängen Es gilt φ = ±π/4 genau dann, wenn die Zeilen von A gleichlang, aber nicht orthogonal sind (q₁ = 0, q₂ ≠ 0). Ist die erste Zeile länger als die zweite (q₁ > 0), so gilt \|φ\| < π/4. Ist sie kürzer (q₁ < 0), so gilt \|φ\| > π/4.

(4)

Vorzeichen des Drehwinkels und Zeilenwinkel

Sei q₂ ≠ 0. Dann entspricht das Vorzeichen von φ dem Vorzeichen des Skalarprodukts der Zeilen von A (dem Vorzeichen von q₂). Damit ist φ positiv, falls die Zeilen von A einen spitzen Winkel einschließen, und negativ, falls sie einen stumpfen Winkel einschließen.

Beispiel: Berechnung der Ellipsen-Parameter

Wir betrachten wie zu Beginn des Kapitels die Matrix

A = $( \begin{matrix} - 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} )$

Unsere Formeln ergeben mit der Konstanten c = $\sqrt{17}$ :

q = (4, 1), ∥ q ∥ = c

σ₁ = $\sqrt{9 + c}$ , σ₂ = $\sqrt{9 - c}$ , e = $\sqrt{2 c}$

h₁ = ^σ₁_e ( $\sqrt{c + 4}$ , $\sqrt{c - 4}$ ), h₂ = ^σ₂_e (− $\sqrt{c - 4}$ , $\sqrt{c + 4}$ )

Der Rotationswinkel φ von E = A[ K ] ist das Argument von h₁ und gleich der Hälfte des Arguments von q. Insgesamt gilt E = E_{σ₁, σ₂, φ}.

Die Ellipse E = A [ K ] für A = ((−3, 1); (2, 2)) mit Halbachsen und q-Vektor.

Die Farben der Halbachsen entsprechen wieder den Farben der Vektoren v₁ = A⁻¹ h₁ bzw. v₂ = A⁻¹ h₂ des Einheitskreises. Die Halbachsen werden unter der Parametrisierung g zu den Zeiten v₁ bzw. v₂ erreicht.

Die folgenden Diagramme zeigen weitere Beispiele.

Analog für die Matrix A = ((3, 1); (−1, 2)) mit det(A) > 0.

Analog für die symmetrische Matrix A = ((3, 1); (1, 2)). Die Besonderheiten symmetrischer Matrizen wird der Spektralsatz ans Licht bringen.

Für A = ((1, 2); (2, 1)) liegen die Halbachsen auf den Winkelhalbierenden (wie für jede invertierbare Matrix der Form ((a, b), (b, a)) mit a, b ≠ 0, da dann die Zeilen gleichlang und nicht orthogonal sind. E wird wegen det(A) < 0 im Uhrzeigersinn durchlaufen.

Der Vektor q und der Skalar r legen die Ellipse fest:

Satz (Festlegung der Ellipse durch q und r)

Seien A, A′ invertierbar. Dann sind äquivalent:

(a)	q^A = q^A′ und r^A = r^A′

(b)	E_A = E_A′

Beweis

(a) impliziert (b):

Es gelte (a). Aus q^A = q^A′ folgt

φ^A = arg(q^A/2) = arg(q^A′/2) = φ^A′ und λ^A = | q^A | = | q^A′ | = λ^A′

Mit r^A = r^A′ erhalten wir

λ^A_{_1,2} = r^A ± λ^A = r^A′ ± λ^A′ = λ^A′_1,2,

sodass auch die Halbachsenlängen übereinstimmen.

(b) impliziert (a):

Es gelte (b), sodass σ_1,2 und φ für A und A′ gleich sind. Aus 2r = λ₁ + λ₂ und 2λ = λ₁ − λ₂ folgt, dass r^A = r^A′ und λ^A = λ^A′. Damit stimmen die q-Vektoren von A und A′ in Länge und Argument überein.