Die Bilinearform einer Matrix

Definition (Bilinearform einer Matrix)

Sei A  ∈  ℝ2 × 2. Dann heißt die Funktion f : ℝ2 × ℝ2 → ℝ mit

f(v, w)  =  〈 v, A w 〉  für alle v, w  ∈  ℝ2

die Bilinearform von A oder die durch A dargestellte Bilinearform (bzgl. der Standardbasis).

 Ist A = ((a, b), (c, d)), so gilt für alle v = (x1, y1) und w = (x2, y2):

〈 v, A w 〉  =  a x1 x2  +  b x1 y2  +  c x2 y1  +  d y1 y2

Auf der rechten Seite steht die mit den Einträgen von A gewichtete Summe aller möglichen Koordinatenprodukte.

 Die Bilinearform einer Matrix A ist ihrem Namen entsprechend linear in beiden Argumenten: Für alle Vektoren v, w, v1,2, w1,2  ∈  ℝ2 und Skalare λ, μ  ∈  ℝ gilt:

f (λ v1 + μ v2, w)  =  λ f(v1, w)  +  μ f(v2, w)

f (v, λ w1 + μ w2)  =  λ f(v, w1)  +  μ f(v, w2)

Ist umgekehrt f : ℝ2 × ℝ2 → ℝ bilinear, so setzen wir

aij  =  f(ei, ej)  für alle 1 ≤ i,j ≤ 2

mit der Standardbasis (e1, e2). Ist nun A die Matrix mit den Einträgen aij, so gilt

aij  =  〈 ei, A ej 〉  für alle 1 ≤ i, j ≤ 2

Aus der Bilinearität folgt f(v, w) = 〈 v, A w 〉 für alle v, w  ∈  ℝ2. Durch die Entsprechung von Bilinearformen und Matrizen übertragen sich viele Eigenschaften und Sprechweisen. So ist eine Bilinearform f zum Beispiel genau dann symmetrisch (d. h. f (v, w) = f (w, v) für alle v, w), wenn A symmetrisch ist (d. h. A = At). Analoge Definitionen und Überlegungen gelten für höhere Dimensionen.

 Wir versammeln:

Satz (binomische Formeln)

Sei A  ∈  ℝ2 × 2, und seien v, w  ∈  ℝ2. Dann gilt:

〈 v + w, A (v + w) 〉 =  〈 v, Av 〉  +  〈 v, (A + At)w 〉  +  〈 w, Aw 〉
〈 v + w, A (v − w) 〉 =  〈 v, Av 〉  +  〈 v, (At − A)w 〉  −  〈 w, Aw 〉

Ist A symmetrisch, so gilt:

〈 v + w,  A (v + w) 〉 =  〈 v, Av 〉  +  2 〈 v, Aw 〉  +  〈 w, Aw 〉
〈 v + w,  A (v − w) 〉 =  〈 v, Av 〉  −  〈 w, Aw 〉
Beweis

Wir rechnen:

〈 v + w, A (v + w) 〉 =  〈 v, Av 〉  +  〈 v, Aw 〉  +  〈 w, Av 〉  +  〈 w, Aw 〉
=  〈 v, Av 〉  +  〈 v, Aw 〉  +  〈 Atw, v 〉  +  〈 w, Aw 〉
=  〈 v, Av 〉  +  〈 v, (A + At)w 〉  +  〈 w, Aw 〉

Die zweite Formel wird analog bewiesen. Die anderen Aussagen ergeben sich durch Verwendung von A = At.

Skalarprodukt und Norm

Ist A symmetrisch und positiv definit (d. h. 〈 v, Av 〉 > 0 für alle v ≠ 0), so definieren

〈 v, w 〉A  =  〈 v, Aw 〉,  ∥ v ∥A  =  〈v,v〉A  =  〈v,Av〉

ein Skalarprodukt und die zugehörige Norm. Für A = E2 erhalten wir das Euklidische Skalarprodukt.