Die adjungierte Matrix
Definition (adjungierte Matrix)
Für eine Matrix A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℂ2 × 2 definieren wir die adjungierte Matrix A* ∈ ℂ2 × 2 durch
A* = = At = At
wobei der Querstrich die komplexe Konjugation aller Einträge bezeichnet.
Bei der Bildung der adjungierten Matrix wird die Matrix an der Hauptdiagonalen gespiegelt und zusätzlich werden alle Einträge komplex konjugiert. Die komplexe Konjugation kann nach oder vor der Spiegelung erfolgen.
Ist A reell, so gilt A* = At. Allgemein gelten analoge Eigenschaften zur reellen Transposition. Für alle A, B ∈ ℂ2 × 2, v, w ∈ ℂ2 und λ, μ ∈ ℂ gilt:
A** = A, (λ A + μ B)* = λ A* + μ B*, (A B)* = B* A*
〈 v, A w 〉 = 〈 A* v, w 〉, 〈 A v, w 〉 = 〈 v, A* w 〉(Verschiebungsregel)
Dabei verwenden das komplexe Skalarprodukt
〈 (z1, z1), (w1, w2) 〉 = z1 w1 + z2 w2 für alle z1, z2, w1, w2 ∈ ℂ
mit der Konjugation in der ersten Komponente.
Mit Hilfe der Adjungiertheit definieren wir:
Definition (selbstadjungiert, unitär)
Eine Matrix A ∈ ℂ2 × 2 heißt
(a) | selbstadjungiert, falls A = A* |
(b) | unitär, falls A−1 = A* |
Die Selbstadjungiertheit entspricht der reellen Symmetrie, die Unitarität der reellen Orthogonalität. Eine komplexe Matrix A = ((a, b), (c, d)) ist genau dann selbstadjungiert, wenn die Diagonaleinträge reell und die Nebendiagonaleinträge komplex konjugiert zueinander sind:
a, d ∈ ℝ, b = c(Selbstadjungiertheit)
Weiter ist A genau dann unitär, wenn die Zeilen normiert und orthogonal (bzgl. des komplexen Skalarprodukts) sind. Wie im Reellen ist dies äquivalent zur Orthonormalität der Zeilen.