Der Kommutator zweier Matrizen

Sind A und B Matrizen, so sind die Matrizen-Produkte AB und BA im Allgemeinen verschieden voneinander, sie können aber auch in nichttrivialen Fällen gleich sein. Für die folgenden Überlegungen spielt der „gute“ Fall übereinstimmender Produkte eine wichtige Rolle. Wir definieren:

Definition (Kommutator, kommutierende Matrizen)

Für zwei Matrizen A, B  ∈  ℂ^2 × 2 ist der Kommutator von A und B definiert durch

[ A, B ] = A B − B A(Kommutator)

Wir sagen, dass A und B kommutieren, wenn [ A, B ] = 0.

Für alle A, B, C, D  ∈  ℂ^2 × 2 und alle λ, μ  ∈  ℂ gilt:

[ A, B ] = − [ B, A ]

[ A + B, C + D ] = [ A, C ] + [ B, C ] + [ A, D ] + [ B, D ]

[ λ A, μ B ] = λ μ [ A, B ]

Beispiele

(1)	Die Einheitsmatrix E₂ kommutiert mit allen Matrizen A  ∈  ℂ^2 × 2.

(2)	Alle Potenzen Aⁿ, A^m einer Matrix A kommutieren, da [ Aⁿ, A^m ] = A^n + m = A^m + n = [ A^m, Aⁿ ] für alle n, m ≥ 0

(3)	Ist A invertierbar, so kommutiert A mit A⁻¹, da A A⁻¹ = A⁻¹ A.

Seien A = ((a, b), (c, d)), B = ((a′, b′), (c′, d′))  ∈  ℂ^2 × 2. Eine direkte Berechnung des Kommutators zeigt:

[ A, B ] = A B − B A = $( \begin{matrix} bc′ - b′c & (a - d) b′ - (a′ - d′) b \\ (a′ - d′) c - (a - d) c′ & b′c - b c′ \end{matrix} )$

Damit erhalten wir eine relativ übersichtliche Beschreibung der kommutierenden Matrizen:

Satz (Charakterisierung der kommutierenden Matrizen über die Einträge)

Seien A = ((a, b), (c, d)), B = ((a′, b′), (c′, d′))  ∈  ℂ^2 × 2. Dann kommutieren A und B genau dann, wenn mit s = a − d und s′ = a′ − d′ gilt:

b c′ = b′ c, s b′ = s′ b, s c′ = s′ c