Kegelschnitte als Kegelschnitte

Wir betrachten den an der z-Achse ausgerichteten Doppelkegel

C = { (α, β, γ)  ∈  ℝ³ | α² + β² = γ² } = { (α, β, γ)  ∈  ℝ³ | α² + β² − γ² = 0 }

Weiter sei

E = v₃ + span(v₁, v₂) = { v₃ + x v₁ + y v₂ | x, y  ∈  ℝ }, v_k = (x_k, y_k, z_k) für k = 1, 2, 3

die affine Ebene mit dem Aufsatzpunkt v₃ und den linear unabhängigen Richtungsvektoren v₁ und v₂. (Wir verwenden x, y anstelle von λ, μ als Skalare, da x und y die Variablen des Kegelschnitts sein werden; mit Blick auf die Matrix-Darstellung verdient der Aufsatzpunkt den Index 3.) Wir setzen

L = { (x, y)  ∈  ℝ² | v₃ + x v₁ + y v₂  ∈  C }

Die Menge L ist die Menge der inhomogenen Koordinaten der Vektoren in der Schnittmenge E ∩ C ⊆ ℝ³ bzgl. unserer Darstellung E = v₃ + span(v₁, v₂). Sind v₁, v₂ orthonormal, so können wir E als Kopie der Ebene ℝ² ansehen (mit Ursprung v₃ und Basisvektoren v₁, v₂) und L mit E ∩ C identifizieren.

Sei nun (x, y)  ∈  ℝ² beliebig. Dann ist (x, y)  ∈  L äquivalent zu

(+) (x₃ + x x₁ + y x₂)² + (y₃ + x y₁ + y y₂)² − (z₃ + x z₁ + y z₂)² = 0

Als Lösungsmenge der algebraischen Gleichung (+) zweiten Grades in den Variablen x, y ist bereits jetzt klar, dass L ein Kegelschnitt ist. Zur Identifikation des Typs multiplizieren wir die qudratischen Terme aus. Wir erhalten so die äquivalente Gleichung

(++) a x² + b x y + c y² + d x + e y + f = 0

mit den Koeffizienten

a	= x₁² + y₁² − z₁²	= 〈 v₁, v₁ 〉*
b	= 2 x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ − 2 z₁ z₂	= 2 〈 v₁, v₂ 〉*
c	= x₂² + y₂² − z₂²	= 〈 v₂, v₂ 〉*
d	= 2 x₁ x₃ + 2 y₁ y₃ − 2 z₁ z₃	= 2 〈 v₁, v₃ 〉*
e	= 2 x₂ x₃ + 2 y₂ y₃ − 2 z₂ z₃	= 2 〈 v₂, v₃ 〉*
f	= x₃² + y₃² − z₃²	= 〈 v₃, v₃ 〉*

wobei das „modifizierte Skalarprodukt“ 〈 ·, · 〉* definiert ist durch

〈 v, w 〉* = 〈 v, diag(1, 1, −1) w 〉 für alle v, w  ∈  ℝ³

Ein Wert 〈 v, w 〉* wird wie für das Standard-Skalarprodukt berechnet, jedoch mit einem Minuszeichen vor dem letzten Summanden. Algebraisch ist die Abbildung 〈 ·, · 〉* : ℝ³ × ℝ³ → ℝ eine symmetrische Bilinearform. Es gilt 〈 v, w 〉* = 〈 w, v 〉*. Ein Produkt 〈 v, v 〉* ist genau dann null, wenn v  ∈  C, da

C = { (α, β, γ)  ∈  ℝ³ | α² + β² − γ² = 0 } = { v  ∈  ℝ³ | 〈 v, v 〉* = 0 }

Weiter ist 〈 v, v 〉* genau dann negativ (positiv), wenn v im Inneren (Äußeren) des Doppelkegels C liegt. Die darstellende 3 × 3-Matrix der Gleichung (++) können wir mit Hilfe der Bilinearform sehr ansprechend angeben:

A_3 × 3 = (〈 v_i, v_j 〉*)_{1 ≤ i, j ≤ 3} = $( \begin{matrix} 〈 v_{1}, v_{1} 〉 * & 〈 v_{1}, v_{2} 〉 * & 〈 v_{1}, v_{3} 〉 * \\ 〈 v_{1}, v_{2} 〉 * & 〈 v_{2}, v_{2} 〉 * & 〈 v_{2}, v_{3} 〉 * \\ 〈 v_{1}, v_{3} 〉 * & 〈 v_{2}, v_{3} 〉 * & 〈 v_{3}, v_{3} 〉 * \end{matrix} )$

Orthonormalität der aufspanennden Vektoren

Wir nehmen zur Vereinfachung der Determinanten-Berechnung ab jetzt an, dass die Vektoren v₁, v₂ orthogonal und normiert sind.

Dann gilt

〈 v₁, v₁ 〉* = x₁² + y₁² + z₁² − 2z₁² = 1 − 2 z₁²

〈 v₂, v₂ 〉* = x₂² + y₂² + z₂² − 2z₂² = 1 − 2 z₂²

〈 v₁, v₂ 〉* = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂ − 2z₁ z₂ = − 2 z₁ z₂

Damit können wir berechnen:

det(A_2 × 2)	= 〈 v₁, v₁ 〉* 〈 v₂, v₂ 〉* − 〈 v₁, v₂ 〉*²
	= 1 − 2z₁² − 2z₂² + 4 z₁² z₂² − 4 z₁² z₂² = 1 − 2(z₁² + z₂²)

Nach dem Klassifikationssatz gilt also:

Klassifikation von L

z₁² + z₂² < 1/2	L ist eine Ellipse oder einpunktig
z₁² + z₂² = 1/2	L ist eine Parabel oder eine Gerade
z₁² + z₂² > 1/2	L ist eine Hyperbel oder ein Geradenkreuz

Die leere Menge oder ein Paar paralleler Geraden sind aus geometrischen Gründen nicht möglich. Jede Gerade im Doppelkegel C verläuft durch den Nullpunkt. Weiter ist „L ist einpunktig“ äquivalent mit L = { 0 }.

Die Größe z₁² + z₂² können wir geometrisch interpretieren. Sei hierzu

u = v₁ × v₂

Dann steht u senkrecht auf v₁ und v₂ und es gilt ∥ u ∥ = 1 (Fläche des von v₁ und v₂ aufgespannten Parallelogramms). Die Matrix B = (v₁; v₂; u) ist also orthogonal und hat damit nicht nur normierte Spalten, sondern auch normierte Zeilen. Verwenden wir dies für die dritte Zeile (z₁, z₂, u₃), so erhalten wir mit u = (u₁, u₂, u₃):

z₁² + z₂² + u₃² = 1 = u₁² + u₂² + u₃²

Folglich gilt

z₁² + z₂² = u₁² + u₂²

Damit können wir z₁² + z₂² in Verbindung bringen mit:

Winkel zwischen Schnittebene und x-y-Ebene

Sei E_x,y die x-y-Ebene. Dann ist der Winkel φ  ∈  [ 0, π/2 ] zwischen E und E_x,y gleich dem Winkel, den die von zwei Normalenvektoren von E und E_x,y erzeugten Geraden miteinander einschließen (mit φ = 0 im Fall paralleler Ebenen). Damit gilt nach der Winkelformel

cos φ = | 〈 v₁ × v₂, (0, 0, 1) 〉 | = | 〈 u, (0, 0, 1) 〉 | = | u₃ | = | x₁ y₂ − x₂ y₁ |

Folglich ist

cos φ = |u₃| = $\sqrt{u_{3}^{2}}$ = $\sqrt{1 - (u_{1}^{2} + u_{2}^{2})}$ = $\sqrt{1 - (z_{1}^{2} + z_{2}^{2})}$

Mit der Wasserscheide cos(π/4) = $\sqrt{1 / 2}$ liest sich die obige Klassifikation für den Winkel φ zwischen E und der x-y-Ebene nun so:

Klassifikation von L, Winkelversion

φ  ∈  [ 0, π/4 [	L ist eine Ellipse oder einpunktig
φ = π/4	L ist eine Parabel oder eine Gerade
φ  ∈  ] π/4, π/2 ]	L ist eine Hyperbel oder ein Geradenkreuz

Das Ergebnis entspricht unserer geometrischen Anschauung: Ist E parallel zur x-y-Ebene, so erhalten wir einen Kreis oder die einpunktige Menge { 0 } (im Fall 0  ∈  E) als Schnitt. Für schiefe Ebenen bis zu einem Neigungswinkel unter π/4 ergeben sich Ellipsen oder { 0 } (im Fall 0  ∈  E). Ist φ = π/4, so ist der Schnitt eine Parabel oder eine Gerade (im Fall 0  ∈  E). Für diesen Winkel gibt es eine zur Schnittebene parallele Gerade des Kegels. Für Winkel größer in ] π/4, π/2 ] ist der Schnitt eine Hyperbel oder ein Geradenkreuz (erneut im Fall 0  ∈  E).

Diese Überlegung führt dreidimensional vor Augen, dass Parabeln zwischen den Welten der Ellipsen und Hyperbeln liegen:

Kippen einer Schnittebene

Für die Ebene

E₀ = (−1, 0, 1) + span((1, 0, 0), (0, 1, 0))

gilt E₀ ∩ C = K₁. Nun fixieren wir den Aufsatzpunkt (−1, 0, 1) und kippen die Ebene um einen „Nickwinkel“ φ bzgl. der x-Achse zu

E_φ = (−1, 0, 1) + span((cos φ, 0, sin φ), (0, 1, 0))

Für φ < π/4 ergeben sich Ellipsen, die für φ = π/4 in eine Parabel übergehen. Für φ > π/4 erhalten wir Hyperbeln mit „aus dem Unendlichen kommenden“ zweiten Ästen, deren Scheitelpunkte sehr große negative z-Werte besitzen, wenn φ nur wenig größer als π/4 ist.

Schnitt von C mit E₀ (Einheitskreis)

Schnitt von C mit E_φ für φ = π/8 (Ellipse)

Schnitt von C mit E_φ für φ = π/4 (Parabel)

Schnitt von C mit E_φ für φ = 3 π/8 (Hyperbel)

Schnitt von C mit E_φ für φ = π/2 (Einheitshyperbel)

Berechnung der Schnittgleichungen

Sei φ  ∈  [ 0, π/2 [. Wir berechnen die algebraische Gleichung der Menge L_φ der inhomogenen Koordinaten von C ∩ E_φ, wobei wieder

E_φ = v₃ + span(v₁, v₂) = (−1, 0, 1) + span((cos φ, 0, sin φ), (0, 1, 0))

Die Vektoren v₁, v₂ sind orthogonal und normiert. Mit der Verdopplungsformel cos(2φ) = cos² φ − sin² φ erhalten wir:

A_3 × 3 = (〈 v_i, v_j 〉*)_i, j = $( \begin{matrix} cos (2 φ) & 0 & - (cos φ + sin φ) \\ 0 & 1 & 0 \\ - (cos φ + sin φ) & 0 & 0 \end{matrix} )$

Damit wird L_φ definiert durch die Gleichung

〈 (x, y, 1), A_3 × 3 (x, y, 1) 〉 = 0

Ausrechnen liefert

(+) cos(2φ) x² + y² − 2(cos φ + sin φ) x = 0

Sei A = A_2 × 2, und sei δ = det(A) = cos(2φ). Wir erhalten:

Ellipsen

Für φ  ∈  [ 0, π/4 [ ist δ > 0 und (+) definiert eine Ellipse mit dem Nullpunkt als linkem Scheitelpunkt. Für φ = 0 ergibt sich

x² + y² − 2x = 0 (äquivalent zu (x − 1)² + y² = 1)

Diese Gleichung definiert den um (1, 0) verschobenen Einheitskreis K₁.

Parabel

Für φ = π/4 ist δ = 0 und (+) wird zur Gleichung

y² − 2 $\sqrt{2}$ x = 0 (äquivalent zu x = $\sqrt{2}$ /4 y²)

der positiven x-Achse ausgerichteten Parabel mit der Öffnung $\sqrt{2}$ /4 und dem Brennpunkt

F = (1/ $\sqrt{2}$ , 0) = ( $\sqrt{2}$ /2, 0)

Hyperbeln

Für φ  ∈  ] π/4, π/2 ] ist δ < 0 und (+) definiert eine Hyperbel mit dem Nullpunkt als rechtem Scheitelpunkt. Für φ = π/2 ergibt sich

− x² + y² − 2x = 0 (äquivalent zu (x + 1)² − y² = 1),

also die um (−1, 0) verschobene Einheitshyperbel H_1, 1.

Wir können die Gleichung (+) mit Hilfe der Klassifikationssätze für Kegelschnitte genauer analysieren. Für δ ≠ 0 ist

w₀ = − 1/2 A⁻¹ (2 (cos φ + sin φ), 0) = − ((cosφ + sinφ)/cos(2φ), 0)

das Zentrum der durch die Gleichung definierten Ellipsen und Hyperbeln. Zentrierung liefert die Gleichung

(++) cos(2φ) x′² + y′² = ^{(cos φ + sin φ)²}_cos(2φ)

Mit Hilfe dieser Gleichung können wir die Halbachsen a_φ, b_φ und die Exzentrizität ε_φ berechnen. Setzen wir σ = sgn(cos(2φ)), so ergibt sich:

a_φ = ^{cos φ + sin φ}_{σ cos(2φ)}

b_φ = $\frac{cos φ + sin φ}{\sqrt{σ cos (2 φ)}}$ = a_φ $\sqrt{σ cos (2 φ)}$

ε_φ = $\sqrt{1 - cos (2 φ)}$ = $\sqrt{2}$ sin φ

Speziell gilt

a₀ = 1, b₀ = 1, ε₀ = 0 (Einheitskreis)

a_π/2 = 1, b_π/2 = 1, ε_π/2 = $\sqrt{2}$ (Einheitshyperbel)

Für φ = π/4 ist δ = 0, sodass dieser Fall nicht unter die Rechnung fällt. Die Formel ε_φ = $\sqrt{2}$ sin φ gibt dennoch den korrekten Parabel-Wert ε = 1 für diesen Winkel.