Bilder von Kegelschnitten unter affinen Abbildungen
Eine affine Abbildung besteht aus einer linearen Abbildung gefolgt von einer Translation. Wir betrachten zuerst Translationen.
Satz (Bilder von Kegelschnitten unter Translationen)
Sei w ∈ ℝ2, und sei L die Lösungsmenge der algebraischen Gleichung
a x2 + b xy + cy2 + d x + e y + f = 0
mit der Matrix-Darstellung
〈 v, A v 〉 + 〈 (d, e), v 〉 + f = 0, v = (x, y), A = ((a, b/2), (b/2, c))
Dann wird trw [ L ] definiert durch die algebraische Gleichung
〈 v, Av 〉 + 〈 (d, e) − 2Aw, v 〉 + 〈 Aw − (d, e), w 〉 + f = 0
Beweis
Sei v ∈ ℝ2. Dann gilt v ∈ trw [ L ] genau dann, wenn tr−w(v) = v − w ∈ L. Dies ist äquivalent zu
〈 v − w, A (v − w) 〉 + 〈 (d, e), v − w 〉 + f = 0
Ausrechnen liefert die Formel des Satzes.
Kombiniert erhalten wir:
Korollar (Bilder von Kegelschnitten unter affinen Abbildungen)
Seien C invertierbar, w ∈ ℝ2, und sei L die Lösungsmenge von a x2 + b xy + cy2 + d x + e y + f = 0 mit der Matrix-Darstellung
〈 v, A v 〉 + 〈 (d, e), v 〉 + f = 0, v = (x, y), A = ((a, b/2), (b/2, c)).
Dann wird trw [ C [ L ] ] definiert durch die algebraische Gleichung
〈 v, D v 〉 + 〈 C−t(d, e) − 2D w, v 〉 + 〈 D w − C−t(d, e), w 〉 + f = 0
wobei D = C−t A C−1.
Affine Abbildungen sind nützlich, um Kegelschnitte sanft zu verformen (d. h. unter Wahrung des geometrischen Typs) und in eine geeignete Position zu bringen. Für unserer Klassifikation haben wir ja bereits eine Zentrierung und Drehung verwendet. Eine weitere Anwendung werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen.