Das dritte Keplersche Gesetz
Aus den Formeln für die Halbachsen der Bahnellipsen können wir das dritte Keplersche Gesetz leicht gewinnen:
Satz (drittes Keplersches Gesetz)
Sei q : ℝ → U eine Lösung von (#), deren Bahn eine Ellipse mit den Halbachsen a, b ist (negative Energie). Weiter sei T die Periode von q und ω = 2π/T die mittlere Winkelgeschwindigkeit eines Umlaufs. Dann gilt:
T = 2mL0 π a b, ω = L0m b a
Weiter gilt:
T2a3 = 4 m π2 k, ω = a−3/2
Im Fall k = G m1 m2 und m = m1 gilt also
T2a3 = 4 π2 G m2(Keplersche Konstante)
Beweis
Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz überstreicht q in einer Periode [ 0, T ] die Fläche L0/(2m) T. Diese Fläche ist gleich der Gesamtfläche π a b der Bahnellipse. Damit ergeben sich die Formeln für T und ω = 2π/T. Mit den obigen Formeln für den Betrag des Drehimpulses L0 erhalten wir
T2 = 4m2b2 m k/a π2 a2 b2 = 4 m π2k a3
ω = = a−3/2
Hieraus ergeben sich die Behauptungen.
Unter der Keplerschen Vereinfachung der Sonne als Kraftzentrum verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten also wie die Kuben ihrer großen Halbachsen. Der Quotient ist unabhängig von der Masse der Planeten. Der Zähler 4 π2 des Bruchs 4 π2/(G m2) ist mathematisch zeitlos. Die Sonnenmasse m2 im Zähler hängt von der Zeit ab, da die Sonne durch Strahlung an Masse verliert. Trotz eines Massenverlustes von etwa vier Millionen Tonnen pro Sekunde ist der Verlust allerdings im Verhältnis zur Gesamtmasse der Sonne sehr gering (vgl. das folgende Beispiel). Ob die Gravitationskonstante G wirklich zeitlich konstant ist, ist eine spekulative Frage der Physik.
Sonnenmasse
Mit dem dritten Keplerschen Gesetz können wir die Masse der Sonne bestimmen. Mit den ungefähren Werten
G = 6,67430 · 10−11 m3/(kg s2)(Gravitationskonstante)
T = 31 536 000 s(Sekunden eines Jahres)
a = 150 000 000 km(Abstand Erde Sonne, Astronomische Einheit)
erhalten wir
mSonne = 4 π2 a3 G T2 ∼ 2,00731 · 1030 kg(Sonnenmasse)
Zum Vergleich: Die Erdmasse wurde zu
mErde = m1 ∼ 5,9722 · 1024 kg(Erdmasse)
berechnet. Die Sonne wiegt also ungefähr so viel wie 336 109 Erden. Für den Jupiter mit
mJupiter ∼ 1,899 · 1027 kg
liegen die Verhältnisse anders: Etwa 1057 Jupitermassen ergeben die Masse der Sonne. Für den Mond gilt
mMond ∼ 7,3483 · 1022 kg,
sodass es etwa 81 Monde braucht, um die Erde aufzuwiegen. Der Mond ist im Verhältnis zur Erde deutlich schwerer als der Jupiter im Verhältnis zur Sonne.
Nehmen wir vereinfacht einen konstanten Masseverlust von 4 · 109 kg pro Sekunde für die Sonne an, so dauert es etwa 1,59 · 1013 Jahre, bis die Sonne ihre Energie verbrannt hat. Das Alter der Sonne wird auf 4,57 · 109 Jahre geschätzt.