Kegelschnitt-Bahnen

Ist q eine Lösung der Differentialgleichung (#) mit L(0) ≠ 0, so verläuft q in der zu L(0) orthogonalen Ebene. Wir dürfen annehmen, dass diese Ebene die x-y-Ebene ℝ² × { 0 } des ℝ³ ist. Weiter identifizieren wir wie üblich (x, y) mit (x, y, 0), sodass ℝ² ⊆ ℝ³. Unter Verwendung unserer universellen Gleichung

r = ^ρ_{1 + ε cos(φ − φ₀)}

für Kegelschnitte in Fokus-Polarkoordinaten (mit dem Brennpunkt F₁ für Ellipsen, F₂ für Hyperbeln, F für Parabeln, dem Halbachsenparameter ρ und der Exzentrizität ε) können wir mit Hilfe des Lenz-Vektors zeigen:

Satz (Gravitationsbahnen sind Kegelschnitte)

Sei q : I → U eine Lösung von (#) mit L(0) ≠ 0 und q[ ℝ ] ⊆ ℝ². Dann ist die Bahn q[ I ] = { q(t) | t  ∈  I } eine Teilmenge einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel mit dem Nullpunkt als Fokus. Genauer gilt:

∥ q(t) ∥ = ^ρ_{1 + ε cos(φ(t) − φ₀)} für alle t  ∈  I, wobei

φ(t) = arg(q(t)), φ₀ = arg(A(0))

ε = ^{∥ A(0) ∥}_m k(Exzentrizität)

ρ = ^{∥ L(0) ∥²}_m k(Halbachsenparameter)

Weiter gilt: Sind x₀, v₀  ∈  ℝ³ nicht kollinear, so gibt es eine eindeutige auf ganz ℝ definierte Lösung q : ℝ → ℝ³ von (#) mit q(0) = x₀ und q′(0) = v₀.

Beweis

Für alle t  ∈  I gilt nach obigen Eigenschaften des Lenz-Vektors:

∥ q(t) ∥ (m k + ∥ A(t) ∥ cos(α)) = ∥ L(t) ∥² mit α = ∡(q(t), A(t))

Ist nun (q, p) eine Lösung von (#) im Phasenraum, so sind L(t) und A(t) konstant entlang der Lösung, sodass wir mit ε und ρ wie im Satz erhalten:

∥ q(t) ∥ = ^ρ_{1 + ε cos(α(t))} = ^ρ_{1 + ε cos(φ(t) − φ₀)} für alle t  ∈  I

Im letzten Schritt verwenden wir die Formel

cos(∡(v, w)) = cos(arg(v) − arg(w)) für alle v, w  ∈  ℝ² − { 0 }

die wir im Einführungskapitel „Vektoren der Ebene“ diskutiert haben. Dies zeigt die Behauptung über Kegelschnitte.

Zum Zusatz:

Die Argumentation zeigt: Ist q : I → ℝ³ eine Lösung mit L(0) ≠ 0 mit maximalem Definitionsbereich, so ist q[ I ] Teilmenge eines durch q(0) und p(0) festgelegten Kegelschnitts, der vom Nullpunkt einen positiven Abstand besitzt. Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen gibt es eine maximale Lösung des AWP mit Anfangswerten x₀ und v₀. Für eine solche Lösung ist I = ℝ, da die Lösung sonst innerhalb des Kegelschnitts fortgesetzt werden könnte.

Wir halten fest:

Richtung und Länge des Lenz-Vektors

Der zeitlich konstante Lenz-Vektor ist wegen φ₀ = arg(A(0)) immer parallel zu dem Vektor, der vom Nullpunkt zum nächstgelegenen Scheitelpunkt der Bahn zeigt. In diesem Sinne ist er ein „Periapsis-Kompass“ (und für Bahnen um die Sonne ein „Perihel-Kompass“). Es gilt

∥ A(t) ∥ = m k ε für alle t

Im Fall m = k = 1 ist die Länge des Lenz-Vektors also gleich der numerischen Exzentrizität ε der Bahn.

Wir können die x-Achse unseres Koordinatensystem am Lenz-Vektor ausrichten und so φ₀ = 0 annehmen, wenn wir möchten. Dieses Vorgehen ist analog zur Ausrichtung des Drehimpulses an der z-Achse, die zu einer Bahn in der x-y-Ebene führt. Eine Lösung startet dann in der Periapsis der Bahn.

Um den geometrischen Typ einer Lösung q : ℝ → U wie im Satz zu klassifizieren, berechnen wir:

Energie

Sei t₀ derart, dass arg(q(t₀)) = arg(A(0)) = φ₀. Der Massepunkt befindet sich also zur Zeit t₀ an der Periapsis seiner Bahn. Die Vektoren q(t₀) und p(t₀) sind orthogonal. Wir setzen:

r₀ = ∥ q(t₀) ∥, s₀ = ^{∥ p(t₀) ∥}_m, L₀ = ∥ L (t₀) ∥ = r₀ m s₀ > 0

Dann gilt für die zeitlich konstante Gesamtenergie der Lösung q:

E = H(t₀) = ^m s₀²₂ − ^k_r₀ = ^L₀²_2mr₀² − ^k_r₀ = ^k_2 r₀(^ρ_r₀ − 2)

Für Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln gilt die Fokusabstandsformel (hier: „Formel für den Periapsis-Abstand“)

ε = ^ρ_r₀ − 1 (mit dem Fokusabstand c = r₀ in der früheren Notation)

Damit erhalten erhalten wir:

(+) E = ^k_2 r₀ (ε − 1)

Äquivalent ist die Form

(++) ε² = 1 + ^2 ρ_k E

Sie ergibt sich aus (+) durch Einsetzen von r₀ = ρ/(1 + ε) und Umstellen.

Das Vorzeichen der Energie entscheidet also über den Typ: Für E < 0 gilt ε < 1 nach (+) (da k, r₀ > 0). Wir erhalten also eine Ellipse bei negativer Energie. Analog ergibt sich für E = 0 eine Parabel (ε = 1) und für E > 0 ein Hyperbelast (ε > 0). Genauer gilt mit den fokusierten Kegelschnitten

E^F_{a, b, φ₀} = tr_−F[ E_{a, b, φ₀} ], P^F_a, φ₀ = tr_−F[ P_{a, π/2 + φ₀} ], H^F_{a, b, φ₀} = tr_−F[ H_{a, b, φ₀} ]

und φ₀ = arg(A(0)):

Negative Energie: Ellipse

Ist E < 0, so ist ε < 1 und die Lösungsbahn q[ ℝ ] die Ellipse E^F₁_{a, b, φ₀} mit dem Halbachsenparameter ρ = b²/a = L₀²/(mk) und den Halbachsen

a = ^ρ_1 − ε² = − ^k_2 E

b = $\sqrt{1 - ε^{2}}$ a = $\frac{L_{0}}{\sqrt{- 2 m E}}$

Insbesondere gilt

L₀ = b $\sqrt{- 2mE}$ = b $\sqrt{mk / a}$

Energie Null: Parabel

Ist E = 0, so ist die Lösungsbahn q[ ℝ ] die Parabel P^F_a, φ₀ mit der Öffnung

a = ¹_2 ρ = ^m k_2 L₀² mit ρ = ¹_2a = ^L₀²_mk

Insbesondere gilt

L₀ = $\sqrt{m k / (2 a)}$

Positive Energie: Hyperbel-Ast

Ist E < 0, so ist die Lösungsbahn q[ ℝ ] der linke Ast der Hyperbel H^F₂_{a, b, φ₀} mit ρ = b²/a = L₀²/(mk) und den Halbachsen

a = ^ρ_ε² − 1 = ^k_2 E

b = $\sqrt{ε^{2} - 1}$ a = $\frac{L_{0}}{\sqrt{2 m E}}$

Insbesondere gilt

L₀ = b $\sqrt{2mE}$ = b $\sqrt{mk / a}$

Wir versammeln noch einige allgemeine Formeln:

Satz (allgemeine Eigenschaften einer Gravitationsbahn)

Sei C die Gravitationsbahn einer Lösung q : ℝ → ℝ von (#). Dann gelten für die Energie E, den Drehimpuls L, den Lenz-Vektor A, die Exzentrizität ε, den Halbachsenparameter ρ und den Fokusabstand r₀ die Zusammenhänge:

E = ^k_2 r₀ (ε − 1) = ^k_2 ρ (ε² − 1), ∥ L ∥ = $\sqrt{m k ρ}$ , ∥ A ∥ = m k ε

Der Lenzvektor zeigt vom Nullpunkt zur Periapsis von C (unabhängig von der Durchlaufrichtung der Lösung).

Ist q  ∈  C, so ergibt sich der zugehörige Impuls p bis auf ein (durch den Drehimpuls L bestimmtes) Vorzeichen durch:

(1)	∥ p ∥ = $\sqrt{2 m (E + k / r)}$ mit r = ∥ q ∥

(2)	p ist tangential zu C

Beweis

Die Formel (1) ergibt sich durch Auflösen der Gesamtenergie nach ∥ p ∥. Dabei ist t beliebig mit q = q(t). Der Rest ergibt sich aus dem Gezeigten.

Die folgenden Diagramme zeigen die Bahnen für die drei Typen und visualisieren den Lenz-Vektor A als Differenz seiner beiden Bestandteile p × L und m k q̂. Die gezeichneten Vektoren entsprechen tatsächlichen Lösungen (ohne Skalierung).

Zur Konstruktion der Diagramme

Es liegt eine Bahnkurve C mit Umlaufrichtung und ausgezeichnetem Fokus F vor (zusammen mit m und k). Mit C kommen die geometrischen Größen ε, ρ, r₀, wodurch wir E berechnen können. Wir betrachten nun einen Punkt auf C und zeichnen den Vektor q vom Fokus zu diesem Punkt (in den Diagrammen blau; eine Zeit, zu der q erreicht wird, muss nicht bekannt sein). An diesen Vektor hängen wir den richtungsgleichen Vektor m k q̂ an (grün). Nun fügen wir den konstanten Lenzvektor hinzu (rot). Er hat die Länge m k ε und zeigt vom Fokus zur Periapsis der Bahn. Dies liefert den Vektor p × L (dunkelgelb). Der Impulsvektor p (gelb) ist tangential zur Kurve (und orthogonal zu p × L). Seine Länge ergibt sich aus der Formel (1) des Satzes.

Die im Folgenden verwendeten Parameter sind m = k = 1 sowie:

Ellipse:	a = 2, b = 3/2, sodass ε = ∥ A ∥ = $\sqrt{7}$ /4
Hyperbel:	a = 1, b = 4/5, sodass ε = ∥ A ∥ = $\sqrt{41}$ /5
Parabel:	a = 3/2, sodass (wie für jede Parabel) ε = ∥ A ∥ = 1

Eine elliptische Gravitationsbahn:

Ort q (blau), Impuls p (gelb), p × L (dunkelgelb), m k q̂ (grün), Lenz-Vektor A (rot)

Wie oben für eine Hyperbel …

… und für eine Parabel

Die gleiche Parabel mit Änderung der Durchlaufrichtung