3. Explizite Gravitationskurven
Im vorangehenden Kapitel haben wir die Keplerschen Gesetze nachgewiesen und gesehen, dass die Bahnen in einem Gravitationsfeld Kegelschnitte sind, die sich nach ihrer konstanten Gesamtenergie in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeläste klassifizieren lassen (wobei wir einen Drehimpuls ungleich Null annehmen). Offen bleiben folgende Fragen:
Können wir nach all unseren Überlegungen immer noch keine Lösung unserer Differentialgleichung in Form eines Funktionsterms angeben? Wo genau oder wenigstens approximativ befindet sich die Lösung q(t) auf ihrem Kegelschnitt zur Zeit t? Speziell: Wo ist ein Planet zur Zeit t auf seiner elliptischen Bahn?
Es fehlt eine explizite Darstellung der Lösung q(t) in der Zeit t, wie wir sie beispielsweise für den harmonischen Oszillator gefunden haben. Oder bescheidener: Eine Möglichkeit, den Ort q(t) in der Zeit t approximativ zu berechnen.
Für Kegelschnittbahnen ist, den Kreisfall und Parabeln ausgenommen, eine exakte zeitliche Lokalisierung nur möglich, wenn wir die elementaren Funktionen erweitern. Wir müssen neue Funktionen einführen, die der Dynamik der Bahnkurven gewachsen sind. Eine numerische Berechnung dieser Funktionen erlaubt dann die Berechnung von q(t) für einen gegebenen Zeitpunkt t. In diesem Kapitel zeigen wir mit verschiedenen Methoden, wie wir mit Hilfe neuer Funktionen explizite Lösungen für die Differentialgleichung eines Gravitationsfeldes angeben können. Nach einer Behandlung des vergleichsweise einfachen Kreisfalls stellen wir eine Lösung für elliptische Bahnen vor, die die korrekte Parametrisierung mit Hilfe der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion gewinnt (Methode 1). Danach verwenden wir die Parametrisierung einer Kurve nach der überstrichenen Fläche zur Gewinnung der Bahnkurven (Methode 2, basierend auf „Flächeninhalte und Bahnlängen“ in Abschnitt 1). Weiter diskutieren wir das auf Kepler zurückgehende geometrische Argument, bei dem Sektorflächen von Kreisen und Ellipsen im Vordergrund stehen (Methode 3). Hyperbeln und Parabeln behandeln wir analog, wobei sich bei den Parabeln elementare Lösungen durch die Verwendung der Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades ergeben. Abschließend berechnen wir auch explizite Lösungen mit Drehimpuls Null.