Die Kepler-Gleichung für Parabeln (Methode 3)

Für Parabeln können wir überstrichene Flächen bzgl. ihres Brennpunkts vergleichsweise einfach ausrechnen:

Berechnung der überstrichenen Fläche

Wir betrachten die Parabel P_a, ihren Brennpunkt F = (0, 1/(4a)) und ihren Scheitelpunkt 0 = (0, 0). Weiter sei

P = (x₀, y₀) = (r, φ)_F-polar = (x₀, a x₀²) = 1/(4a) (2u, u²)

ein Punkt auf der Parabel, mit dem Parameter u unter der „guten“ Parametrisierung von P_a. Es gilt x₀ = u/(2a). Wir setzen

ar(φ) = „die Fläche des Fokus-Sektors 0 F P der Parabel P_a“

Diagramm zur Berechnung der Fläche des Fokus-Sektors 0FP der Parabel P_a

Der Fokus-Sektor 0 F P wird zerlegt in das durch die Strecke 0P definierte Parabelsegment und das Dreieck 0 F P. Die Fläche des Parabelsegments berechnet sich mit Hilfe von Integration zu

¹₂ x₀ y₀ − ∫^x₀₀ a x² dx = ^a x₀³₂ − ^a x₀³₃ = ^{a x₀³}₆ = ^u³_48 a²

(Fläche des Dreiecks 0CP mit C = (x₀, 0) minus Fläche zwischen Parabel und x-Achse auf [ 0, x₀ ].) Die Fläche des Dreiecks 0 F P ist

¹₂ ¹_4a x₀ = ^x₀_8a = ^u_16 a²

Damit erhalten wir

(+) (4a)² ar(φ) = ^u³₃ + u

Bei Ellipsen und Hyperbeln haben wir eine von ε < 1 bzw. ε > 1 abhängige Projektion auf einen Kreis K_a bzw. eine Hyperbel H_a,a durchgeführt. Dies entfällt bei den Parabeln (da ε = 1 für jede Parabel P_a).

Für eine parabolische Lösung q(t) von (#) ergibt sich mit der Flächenformel ar(φ(t)) = L₀/(2m) t, dass für alle t  ∈  ℝ gilt:

(4a)² ^L₀_{2 m} t = ^u³₃ + u

Mit der Formel für die Startgeschwindigkeit erhalten wir

L₀ = m ∥ q(0) ∥ ∥ q′(0) ∥ = $\frac{m ω ′ 2 \sqrt{2 a}}{4 a}$ = $\frac{m ω ′}{\sqrt{2 a}}$

Damit gilt

(4a)² ^L₀_{2 m} = $\frac{(4 a)^{2} ω ′}{2 \sqrt{2 a}}$ = 4 $\sqrt{2}$ ω′ a^3/2

Wir erhalten:

(++) ωt = u³/3 + u mit ω = 4 $\sqrt{2}$ ω′ a^3/2(Kepler-Gleichung)

Mit diesen Überlegungen lassen sich erneut Lösungen konstruieren: Ist g die Umkehrfunktion der rechten Seite von (++), so ist g(ωt) der Parameter u, mit dessen Hilfe q(t) berechnet werden kann: q(t) = 1/(4a) (1 − u², 2u) (mit Ausrichtung der Parabel auf der negativen x-Achse und dem Nullpunkt als Fokus).