Die Kepler-Gleichung für Ellipsen (Methode 3)

Wir geben noch eine weitere Herleitung der Bahnkurven. Im Zentrum steht die folgende auf Kepler zurückgehende zunächst rein geometrische Überlegung: Eine Ellipse geht aus einem Kreis durch die Stauchung entlang einer Achse hervor. Diese Stauchung führt zu Flächen- und Winkeländerungen, die wir elementar berechnen können. Zusammen mit dem zweiten Keplerschen Gesetz lassen sich daraus explizite Bahnkurven gewinnen.

Geometrische Vorüberlegung: Die exzentrische Anomalie

Wir betrachten eine zentrische achsenparallele Ellipse E = E_a, b in erster Hauptlage. Seien F₁ = (e, 0) der rechte Brennpunkt und P₀ = (a, 0) der rechte Hauptscheitelpunkt von E. Weiter sei

P = (x₀, y₀)  ∈  E

ein Punkt auf der Ellipse mit kartesischen Koordinaten (x₀, y₀) bzgl. des Ursprungs und Fokus-Polarkoordinaten (r, φ) bzgl. F₁. Wir setzen

ar(φ) = „die Fläche des Fokus-Sektors P₀ F₁ P von E“

Weiter sei K = K_a der zentrische die Ellipse E umschließende Kreis mit Radius a. Wir sehen E als Skalierung des Kreises K entlang der y-Achse um den Faktor b/a ≤ 1 an. Entsprechend sei

Q = (x₀, a/b y₀)  ∈  K

der Punkt auf dem Kreis K mit der gleichen x-Koordinate wie P (also das Urbild von P unter der Skalierung von K), und es sei

α = arg(Q)(exzentrische Anomalie von P bzgl. K_a)

Dann gilt:

x₀ = r cos(φ) + e = a cos(α)

y₀ = r sin(φ) = (b/a) a sin(α) = b sin(α)

Wir nehmen zunächst an, dass φ  ∈  [ 0, π/2 ]. Dann gilt auch α  ∈  [ 0, π/2 ]. Die Fläche des durch α definierten Kreissektors S_α von K ist a² α/2. Dieser Kreissektor ist die disjunkte Vereinigung des Dreiecks 0F₁Q und des um den Faktor a/b ≥ 1 entlang der y-Achse gestreckten Fokus-Sektors P₀ F₁ P von E. Das Dreieck 0F₁Q besitzt

(a)	die Grundfläche e

(b)	die Höhe h = (a/b) y₀ = a sin α

(c)	die Fläche e h/2 = (1/2) e a sin α

Diagramm zur exzentrischen Anomalie. Die Ellipse (gelb) entsteht durch Skalierung des Kreises (blau) um den Faktor b/a entlang der y-Achse. Entsprechend werden Sektorflächen P₀F₁P und P₀F₁Q bzgl. F₁ skaliert.

Damit erhalten wir die Flächenzerlegung

^{a² α}₂ = ¹₂ e a sin α + ^a_b ar(φ)

des Kreissektors S_α. Eine Umstellung liefert

(+) ^{2 ar(φ)}_ab = α − ε sin α

Im Kreisfall b = a ist

K_a = E, ε = 0, α = φ

Die Formel (+) geht also für a = b in die Formel ar(α) = a² α/2 für einen Kreissektor mit dem Winkel α über.

Die gleiche Formel erhalten wir, wie analoge Überlegungen zeigen, für alle Winkel φ  ∈  ] −π, π ], wobei ar(φ) für φ < 0 als negativ angesehen wird. Wir können die Formel sogar auf ganz ℝ ausdehnen, indem wir die Umläufe wie bei einer überstrichenen Fläche mitzählen. Jeder Umlauf der Länge 2π trägt die Fläche π a b zum Ellipsensektor und die Fläche a² π zum Kreissektor bei. Einem vollen Umlauf von φ entspricht ein voller Umlauf von α.

Analog mit φ > π/2, α < π/2

Mit zwei stumpfen Winkeln φ, α

Bemerkung

Die ungewöhnliche Mischform zwischen Winkel und Sinus des Winkels auf der rechten Seite von (+) wird durch das Flächenargument erklärt: α wird zur Berechnung einer Sektorfläche und einer Dreiecksfläche verwendet.

Wir betrachten nun eine Lösung q : ℝ → ℝ² der Differentialgleichung (#), deren Bahn die Ellipse E^F₁_a, b ist. Für alle t  ∈  ℝ sei

q(t) = (r(t), φ(t)) in Fokus-Polarkoordinaten (bzgl. F₁ = 0)

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Bahn in der Periapsis beginnt. Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz gilt für alle t  ∈  ℝ (mit Zählungen der Umläufe):

ar(φ(t)) = ^L₀_2m t mit L₀ = | L(0) | > 0

Setzen wir dies in (+) ein, so erhalten wir

^L₀_m a b t = α − ε sin α

Nach dem dritten Keplerschen Gesetz gilt

^L₀_m a b = ω′ a^−2/3

Damit erhalten wir:

(++) ω t = α − ε sin α mit ω = ω′ a^−2/3(Kepler-Gleichung)

Damit haben wir die Kepler-Funktion und die expliziten Lösungen wiedergefunden. Ist t gegeben, so liefert die Umkehrfunktion der rechten Seite der Kepler-Gleichung angewendet auf ωt den Winkel α, und aus α ergibt sich der Ort q(t) = (a cos(α), b sin(α)) der Lösung zur Zeit t.

Wir fassen unsere Formeln zusammen:

Formeln für Koordinaten, Radius und Winkel

Erfüllen t, α die Kepler-Gleichung, so gelten für

q(t) = (x, y)_kartesisch = (r, φ)_polar

die Beziehungen:

x = r cos(φ) = a cos(α) − e

y = r sin(φ) = b sin(α)

r = a (1 − ε cos(α))

φ = α, falls α  ∈  π ℤ oder φ  ∈  π ℤ (mit π ℤ = { k π | k  ∈  ℤ })

tan(φ/2) = sgn(sin(α)) $\sqrt{\frac{1 + ε}{1 - ε}}$ tan(α/2) falls α, φ  ∉  π ℤ

Die Formeln für r und φ lassen sich dabei genau wie früher herleiten.