Gravitations-Hyperbeln (Methode 1)
Wir konstruieren Hyperbel-Lösungen in Analogie zu den Ellipsen. Die trigonometrischen Funktionen werden durch ihre hyperbolischen Versionen ersetzt. Darüber hinaus müssen wir die Vorzeichen sorgfältig verfolgen und anpassen.
Wir suchen also nach einer Lösung q : ℝ → ℝ2 von (#) der Form
q(t) = (− a cosh g(ωt) + e, b sinh g(ωt)) für alle t ∈ ℝ (mit a, b > 0)
Eine solche Lösung durchläuft den linken Ast der Hyperbel HF2a, b, deren linker Fokus mit dem Nullpunkt zusammenfällt. An die Stelle des Satzes von Pythagoras tritt nun die Formel
cosh2(x) − sinh2(x) = 1 für alle x ∈ ℝ
Mit e2 = a2 + b2 erhalten wir, dass für alle t ∈ ℝ gilt:
| ∥ q(t) ∥2 | = a2 cosh2(g(ωt)) − 2 a e cosh g(ωt) + a2 + b2 + b2 sinh2(g(ωt))) |
| = e2 cosh2(g(ωt)) − 2 a e cosh g(ωt) + a2 = a2 (ε cosh g(ωt) − 1)2 |
Für alle x ∈ ℝ gilt ε cosh(x) ≥ cosh(x) ≥ 1, sodass
(+) ∥ q(t) ∥ = a (ε cosh g(ωt) − 1) für alle t ∈ ℝ
Die Ableitungen berechnen sich mit cosh′ = cosh und sinh′ = sinh zu
q′(t) = ω g′(ωt) (− a sinh g(ωt), b cosh g(ωt))
q″(t) = ω2 (g″(ωt) (− a sinh g(ωt), b cosh g(ωt)) + g′(ωt)2 (− a cosh g(ωt), b sinh g(ωt)))
Damit ist q genau dann eine Lösung der Differentialgleichung
(#) ∥ q(t) ∥3 q″(t) = − ω′2 q(t), ω′ =
wenn mit τ = ω′/ω gilt:
| (I) | ∥ q(t) ∥3 (g″(ωt) sinh g(ωt) + g′(ωt)2 cosh g(ωt)) = τ2 (ε − cosh g(ωt)) |
| (II) | ∥ q(t) ∥3 (g″(ωt) cosh g(ωt) + g′(ωt)2 sinh g(ωt)) = − τ2 sinh g(ωt) |
Mit g = f −1 und den Formeln für g′(ωt) und g″(ωt) erhalten wir
| (I) | ∥ q(t) ∥3τ2 f ′(g(ωt))3 ( f ″(g(ωt)) sinh g(ωt) − f ′(g(ωt)) cosh g(ωt)) = cosh g(ωt) − ε |
| (II) | ∥ q(t) ∥3τ2 f ′(g(ωt))3 ( f ″(g(ωt)) cosh g(ωt) − f ′(g(ωt)) sinh g(ωt)) = sinh g(ωt) |
Mit der Norm-Formel (+) berechnet sich der Vorfaktor auf den linken Seiten zu
a3 (ε cosh g(ωt) − 1)3τ2 f ′(g(ωt))3
Wie früher können wir erreichen, dass der Vorfaktor konstant gleich 1 ist:
Konstruktion der hyperbolischen Lösung
Wir setzen
A) | ω = , sodass τ2 = a3 |
B) | f (u) = ε sinh u − u, sodass f ′(g(ωt)) = ε cosh g(ωt) − 1, f ″(g(ωt)) = ε sinh g(ωt) |
Es ist leicht nachzuweisen, dass (I) und (II) erfüllt sind.
In Analogie zum elliptischen Fall definieren wir:
Definition (hyperbolische Kepler-Funktion)
Sei ε ∈ [ 1, ∞ [ , und sei fε : ℝ → ℝ definiert durch
fε(u) = ε sinh u − u für alle u ∈ ℝ
Dann definieren wir die hyperbolische Kepler-Funktion hypε : ℝ → ℝ durch
hypε = fε−1
Unsere hyperbolischen Lösungen q : ℝ → ℝ2 von (#) haben also die Form
q(t) = (e − a cosh(hypε(ωt)), b sin(hypε(ωt))) für alle t ∈ ℝ, mit
a, b > 0, e = a2 + b2, ε = e/a > 1, ω = ω′ a−2/3, q[ ℝ ] = HF2a, b
Koordinaten und Radius
Seien t ∈ ℝ und u = hypε(ωt). Dann gilt für q(t) = (x(t), y(t)) und r(t) = ∥ q(t) ∥:
| x(t) | = e − a cosh(u) = e − a cosh(hypε(ωt)) |
| y(t) | = b sinh(u) = b sinh(hypε(ωt)) |
| r(t) | = a (ε cosh(u) − 1) = a (ε cosh(kepε(ωt)) − 1) |
Für die Startwerte verwenden wir
q′(t) = ω hypε′(ωt) (− a sinh(hypε(ωt)), b cosh(hypε(ωt)))
hypε′(0) = 1/fε′(0) = 1/(ε − 1)
erhalten wir:
Startwerte
q(0) = (e − a, 0) (Periapsis-Start)
q′(0) = (0, ω b/(ε − 1)) = (0, ω′ (1 + ε)/b)(Startgeschwindigkeit)
Die Funktionen fε mit fε(u) = ε sinh(u) − u für einige ε, die etwas größer als 1 sind. Die hyperbolischen Kepler-Funktionen hypε entstehen durch Umkehrung. Alle Funktionen sind streng monoton steigend. Im keiner Hyperbel-Bahn entsprechenden Grenzfall ε = 1 ist hyp1 an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
Analog mit größeren ε-Parametern
Visualisierung der hyperbolischen Lösungen q : [ − 2, 2 ] → ℝ2 für m = k = 1 und
(a, b) = (8, 1), (4, 1), (2, 1), (1, 1), (1/2, 1) (von innen nach außen)
Analog für (a, b) = (1, 1/4), (1, 1/2), (1, 1), (1, 2), (1, 4) (von innen nach außen)
Für (a, b) = (1/2, 1/4), (1, 1/2), (2, 1), (4, 2), (6, 3) (von innen nach außen). Die Hyperbeln haben die gleiche Exzentrizität ε = /2 (und damit gleichen Asymptoten).