Eigenwerte und Eigenvektoren

 Gilt A v = λ v für einen Vektor v ≠ 0 und einen Skalar λ, so heißt v ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Die Anwendung von A auf v bewirkt eine Skalierung von v um λ. Wir nennen (λ, v) ein Eigenpaar von A. Ein Eigenvektor ist nach Definition immer ungleich dem Nullvektor. Der Eigenwert λ = 0 ist dagegen zugelassen. Wir setzen:

σ(A)  =  { λ | λ ist ein Eigenwert von A }(Spektrum von A)

Eig(A, λ)  =  { v | A v  =  λ v }(Eigenraum von A)

Ein Eigenraum enthält den Nullvektor und Eig(A, λ) ist immer ein Unterraum. Die Dimension dim(Eig(A, λ)) dieses Unterraums heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A.

 Ein Skalar λ ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn das lineare Gleichungssystem

(+)  (A − λ E2) v  =  0

eine nichttriviale Lösung v besitzt. Dies ist äquivalent zur Singularität der Matrix A − λE2 und damit zu

det(A − λ E2)  =  0

Die Determinante auf der linken Seite können wir als Polynom in der Variablen λ lesen. Die (reellen) Eigenwerte von A sind damit die Nullstellen des charakteristischen Polynoms pA : ℝ → ℝ von A, das durch

pA(λ)  =  det(A − λ E2)  für alle λ  ∈  ℝ

definiert ist. Durch Berechnung der Nullstellen von pA erhalten wir die Eigenwerte von A. Für jeden Eigenwert λ von A können wir den Eigenraum Eig(λ, A) durch Lösen des Gleichungssystems (+) bestimmen.

 Ist λ eine genau n-fache Nullstelle des Polynoms pA, so heißt n die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A. Die algebraische Vielfachheit ist immer größergleich der geometrischen Vielfachheit.

Beispiele

(1)

Für A = ((0, −1), (1, 0)) gilt

pA(λ)  =  λ2 + 1  für alle λ  ∈  ℝ

Damit hat A keine reellen Eigenwerte. Dies ist auch anschaulich klar, da die Matrix A eine Drehung um π/2 gegen den Uhrzeigersinn bewirkt. In den komplexen Zahlen ℂ hat A die Eigenwerte λ1 = i und λ2 = − i.

(2)

Sei A = a E2 für ein a  ∈  ℝ. Dann gilt pA(λ) = (a − λ)2, sodass a ein Eigenwert von A der algebraischen Vielfachheit 2 ist. Der zugehörige Eigenraum ist der ℝ2, sodass die geometrische Vielfachheit von a ebenfalls gleich 2 ist.

(3)

Für die Scherung A = ((1, 1), (0, 1)) gilt pA(λ) = (1 − λ)2, σ(A) = { 1 }, Eig(A, 1) = { α e1 | α  ∈  ℝ }. Die algebraische Vielfachheit ist 2 (die 1 ist eine doppelte Nullstelle von pA), die geometrische Vielfachheit (Dimension des Eigenraums) ist dagegen nur 1.